ハイゼンベルク形式による調和振動子(3)

今回は「演繹的な方法」を勉強します。

前記事までは \(A\) を天下り的に与えられましたが、これをもう少し演繹的に求めようということです。
とりあえず


(\(c_{1}\) は数)という形にすることを考えます。
普通に考えると2通りあるのですが、ここでは


として


つまり、


で \(c_{1}=1/2\) ということになります。

さて、\(\psi\) を \(N=A^{\dagger }A\) の固有ベクトルとし、\(\lambda \) をそれに対応する固有値とします。つまり、\(N\psi=\lambda \psi\) 。
同様にして、\(\phi ^{(n)}= A^{n}\psi \) とします。そうすると、


ここで、前記事の結果


を使うと、


ここで \(\phi {_{k}}^{(n)}\; \; \; (k=1,2,3,\cdots )\) を \(\phi^{(n)}\) の成分とすれば


なので、


が得られます。
この不等式は、\(n=1,2,3,\cdots\) に対して成り立つもので、\(N\) の固有値を完全に決定するものです。

\(n=1\) に対して、不等式は \(\lambda \geq 0\) に帰着 → \(N\) は負の固有値を持てない
\(n=2\) に対して、不等式は \(\lambda (\lambda-1)\geq 0\) に帰着 → \(\lambda\) はゼロを除いて \(1\) より小さい値を持つことができない
\(n=3\) に対して、不等式は \(\lambda (\lambda-1)(\lambda-2)\geq 0\) に帰着 → \(\lambda\) は \(0\) と \(1\) ゼロを除いて \(2\) より小さい値を持つことができない
. ・・・

と続けていくことによって、 \(\lambda\) は負でない整数でなければならないことになり、結局 \(N\) の固有値は \(0,1,2,\cdots\) です。
これから、


の固有値は \(1/2,\;3/2,\;5/2,\cdots\) となります。

さて、\(\psi ^{(0)}\) を最低の固有値 \(\lambda=0\) に対応する固有ベクトルとします。→ \(N\psi ^{(0)}=0\) であり


なので


つまり、


で、\(A^{\dagger }\psi ^{(0)}\) は演算子 \(N\) の固有値 \(\lambda=1\) に対応する固有ベクトルです。 

さらに、


つまり、


で、\((A^{\dagger }) ^{2}\psi ^{(0)}\) は演算子 \(N\) の固有値 \(\lambda=2\) に対応する固有ベクトルです。 

さらに、


つまり、


で、\((A^{\dagger }) ^{2}\psi ^{(0)}\) は演算子 \(N\) の固有値 \(\lambda=2\) に対応する固有ベクトルです。 
一般化すると、一つの固有ベクトルに演算子 \(A^{\dagger }\) を掛けることによって、固有値が \(1\) だけ増加した他の固有ベクトルが作りだされます。
このようにして \( (A^{\dagger })^{n} \psi ^{(0)}\) は固有値 \(\lambda=n\) に対応する固有ベクトルです。 
一般化すると、一つの固有ベクトルに演算子 \(A^{\dagger }\) を掛けることによって、固有値が \(1\) だけ増加した他の固有ベクトルが作りだされます。このようにして \( (A^{\dagger })^{n} \psi ^{(0)}\) は固有値 \(\lambda=n\) に対応する固有ベクトルです。 
これらの固有ベクトルを規格化することを考えます。まず、


よって、帰納法から


という関係が求まりました。よって、


これから、固有値 \(\lambda=n\) に対応して、正しく規格化された固有ベクトルは、\(\alpha\) を絶対値 \(1\) の複素数として


となり、\(\psi ^{(j)}\) はエルミート演算子の固有ベクトルなので互いに直交するので、


というのが自然な形と思われます。
さて


と要素で書き、例えば


なので、一般化すると、


です。ここで


つまり、


なので、


つまり、


なので、


以外はゼロとなり、


となりました。

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