ハイゼンベルク形式による調和振動子(2)

今回は問題を解くことにします。

[問題]----------------------------
\(N=A^{\dagger}A\) であるとき、\(N\) の固有値は、\(0,1,2,\cdots\) であることを示し、そして、正の整数値 \(n\) に対して

 
であることを帰納法によって証明せよ。ただし \([A,A^{\dagger}]=1\) である。
---------------------------------

1.\(N=A^{\dagger}A\) であるとき、\(N\) の固有値は、\(0,1,2,\cdots\) であることを示す。


ここで、\(\frac{1}{2}(Q^{2}+P^{2})\) の固有値は \(j+\frac{1}{2}\)
よって、\(N\) の固有値は


つまり、\(0,1,2,\cdots\)

2.\((A^{\dagger })^{n}A^{n}= N(N-1)\cdots (N-n+1)\) の証明

交換関係(後で証明)


から、


で、右から \(A^{n-1}\) を掛けると


まとめると、



[\([A,(A^{\dagger })^{n}]\) の計算]--------------------------


まとめると、






ブログ気持玉

クリックして気持ちを伝えよう!

ログインしてクリックすれば、自分のブログへのリンクが付きます。

→ログインへ

なるほど(納得、参考になった、ヘー)
驚いた
面白い
ナイス
ガッツ(がんばれ!)
かわいい

気持玉数 : 0

この記事へのコメント