The Large Scale Structure of Space-time - The role of gravity の図に関連する部分を訳す(1)

The Large Scale Structure of Space-timeの"1.The role of gravity"を眺めているんですが、FIGURE 1 に関する部分の文章を備忘録として訳しておきます。


One can express the dragging back of light by a massive body more precisely using Penrose's idea of a closed trapped surface. Consider a sphere \(\mathcal{J}\) surrounding the body. At some instant let \(\mathcal{J}\) emit a flash of light. At some later time \(t\), the ingoing and outgoing wave fronts from \(\mathcal{J}\) will form spheres \(\mathcal{J}_{1}\) and \(\mathcal{J}_{2}\) respectively. In a normal situation, the area of \(\mathcal{J}_{1}\). will be less than that of \(\mathcal{J}\) (because it represents ingoing light) and the area of \(\mathcal{J}_{2}\) will be greater than that of \(\mathcal{J}\) (because it represents outgoing light; see figure 1). However if a sufficiently large amount of matter is enclosed within \(\mathcal{J}\) , the areas of \(\mathcal{J}_{1}\) and \(\mathcal{J}_{2}\) will both be less than that of \(\mathcal{J}\) . The surface \(\mathcal{J}\) is then said to be a closed trapped surface. As \(t\) increases, the area of \(\mathcal{J}_{2}\) will get smaller and smaller provided that gravity remains attractive, i.e. provided that the energy density ofthe matter does not become negative.Since the matter inside \(\mathcal{J}\) cannot travel faster than light, it will be trapped within a region whose boundary decreases to zero within a finite time. This suggests that something goes badly wrong. We shall in fact show that in such a situation a space-time singularity must occur, if certain reasonable conditions hold.

閉じた閉じ込められた表面というペンローズのアイデアを使用して、巨大な物体によって光の引きずりをより正確に表現することができます。物体を囲む球 \(\mathcal{J}\)を考えてみましょう。ある瞬間に、 \(\mathcal{J}\) に閃光を放させましょう。その後のある時間 \(t\) で、 \(\mathcal{J}\) からの入力波面と出力波面がそれぞれ球 \(\mathcal{J}_{1}\) と \(\mathcal{J}_{2}\) を形成します。
通常の状況では、\(\mathcal{J}_{1}\)の表面積は \(\mathcal{J}\) の表面積よりも小さくなり(入射光を表すため)、 \(\mathcal{J}_{2}\) の表面積は \(\mathcal{J}\) の表面積よりも大きくなります(発射光を表すため。図1を参照)。ただし、十分な量の物質が \(\mathcal{J}\) 内に含まれている場合、\(\mathcal{J}_{1}\) と \(\mathcal{J}_{2}\) の面積は両方とも \(\mathcal{J}\) の表面積よりも小さくなります。その場合、表面 \(\mathcal{J}\) は閉じたトラップされた表面であると言われます。\(t \)が増加すると、重力が引力である場合、つまり物質のエネルギー密度が負にならない場合、\(\mathcal {J}_{2}\) の面積はますます小さくなります。 \(\mathcal {J}\) 内の物質は、光より速く移動することはできず、有限時間内に境界がゼロに減少する領域内に閉じ込められます。 これは、何かがひどくうまくいかないことを示唆しています。 実際、そのような状況では、特定の合理的な条件が成り立つ場合、時空の特異点が発生しなければならないことを示します。

role_of_gravity_01.jpg
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FIGURE 1.At some instant, the sphere \(\mathcal{J}\) emits a flash of light. At a later time, the light from a point \(p\) forms a sphere \(\mathcal{P}\) around \(p\), and the envelopes \(\mathcal{J}_{1}\) and \(\mathcal{J}_{2}\) form the ingoing and outgoing wavefronts respectively. If the areas of both \(\mathcal{J}_{1}\) and \(\mathcal{J}_{2}\) are less than the area of \(\mathcal{J}\) , then \(\mathcal{J}\) is a closed trapped surface.

図1。ある瞬間、球 \(\mathcal{J}\) は閃光を放ちます。後で、点 \(p\) からの光が \(p\) の周りに球 \(\mathcal{P}\) を形成し、エンベロープ \(\mathcal{J}_{1}\) と \(\mathcal{J}_{2}\) がそれぞれ入力波面と出力波面を形成します。 \(\mathcal{J}_{1}\) と \(\mathcal{J}_{2}\) の両方の表面積が \(\mathcal{J}\) の表面積よりも小さい場合、 \(\mathcal{J}\) は閉じたトラップされた表面です。
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