BHとポテンシャル_続・相対論の正しい間違え方を読むために(2)

今回は「続・相対論の正しい間違え方」の P72で扱っている式 (7.9) について考えてみます。((7.8)の導出はまた後で、、)

[該当の式 (7.9) ]--------------------------------

 
---------------------------------------------

 
ラグランジアン \(L\) は

 
であり、 \(t\) と \(\phi \) を露わに含まず、\(\frac{\partial L}{\partial t}= \frac{\partial L}{\partial \phi }= 0\) のため、オイラーラグランジェ方程式から

 
  
となり、この2つの量はともに運動の定数となる。いっぽう、\(\theta\) についての変分から

 
  
ここで、\(\tau=0\) で、\(\theta =\pi /2,\dot{\theta }= 0\) とすれば、常に \(\theta(r)=\pi/2\) という平面上を運動することが分かる。つまり、 \(\theta=\pi/2\) とおいても運動の一般性を失わないということなので、\(\theta=\pi/2\) とおくと

 
 
(座標時での微分から \(h= r^{2}(d\phi /dt)\) としたため、固有時での微分で表した \(r^{2}(d\phi /d\tau)\) を \({h}'\) とした。)
次は \(r\) に関するオイラーラグランジェ方程式を解くことになるが、それより \(\theta(r)=\pi/2\) とした計量から

 
  
両辺に \(1-r_{g}/r\) を掛けて

 
整理すると

 
ここで、\(r_{g}=2GM/c^{2}\) から

 
なので、上式は

 
で、\(m/2\) を両辺に掛けると

 
となり、
 左辺第1項 : 並進運動エネルギー
 左辺第2項 : 回転運動エネルギー
 左辺第3項 : ニュートン力学との補正
 左辺第4項 : ポテンシャルエネルギー
 右辺 : (静止エネルギーを含まない)系の総エネルギー
(ここで、運動エネルギーに対しては \(\mu=mM/(m+M)\) を使わなけばいけないが、\(m \ll M\) から \(\mu \approx m \) とした。)
書き直して
 \({h}'\) : 単位質量あたりの角運動量
 \((\varepsilon ^{2}-c^{2})/2\) : 単位質量あたりのエネルギー
 \(-r_{g}{h}'^{2}/r^{3}\) : ニュートンポテンシャルに対する補正
ということになります。
さて、もう一度式を見直すと

 
で、全体を \(\tau\) で微分すると

 
よって

 
であり、試験質量 \(m\) をかけると

   
と、該当の式 (7.9) が導出されました。

さて、\({h}' \approx h\) として試験質量 \(m\) をかける前の式に注目すると

 
なので、有効ポテンシャルは

 
と、73ページの (7.10) 式が出てきました。
 

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