BHとポテンシャル_続・相対論の正しい間違え方を読むために（２）: T

2020年11月23日

BHとポテンシャル_続・相対論の正しい間違え方を読むために（２）

今回は「続・相対論の正しい間違え方」の P72で扱っている式 (7.9) について考えてみます。（(7.8)の導出はまた後で、、）

[該当の式 (7.9) ]--------------------------------

　 $m\frac{d^{2}r}{d\tau ^{2}}= -\frac{GMm}{r^{2}}+\left ( 1-\frac{3r_{g}}{2r} \right )\frac{mh^{2}}{r^{3}}$
---------------------------------------------

　 $ds^{2}= \left ( 1-\frac{r_{g}}{r} \right )c^{2}dt^{2}-\frac{1}{1-r_{g}/r}\: dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}$
ラグランジアン $L$ は

　 $\begin{align*} L&=g_{\alpha \beta }\frac{dx^{\alpha }}{d\tau }\frac{dx^{\beta }}{d\tau }\\ &= \left ( 1-\frac{r_{g}}{r} \right )c^{2}\dot{t}^{2}-\frac{1}{1-r_{g}/r}\dot{r}^{2}-r^{2}\dot{\theta }^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \dot{\phi }^{2} \end{align*}$
であり、 $t$ と $\phi $ を露わに含まず、$\frac{\partial L}{\partial t}= \frac{\partial L}{\partial \phi }= 0$ のため、オイラーラグランジェ方程式から

　 $\frac{\partial L}{\partial \dot{t}}= 2\left ( 1-\frac{r_{g}}{r} \right )c^{2}\dot{t}\; \to\; \frac{\partial }{\partial \tau }\left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{t}} \right )= 0$
　 $\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}= 2r^{2}\sin ^{2}\theta \dot{\phi }\; \to\; \frac{\partial }{\partial \tau }\left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }} \right )= 0$ 　
となり、この２つの量はともに運動の定数となる。いっぽう、$\theta$ についての変分から

　 $\frac{\partial }{\partial \tau }\left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }} \right )-\frac{\partial L}{\partial \theta }= \frac{\partial }{\partial \tau }(-2r^{2}\dot{\theta })-(-2r^{2}\sin \theta \cos \theta \dot{\phi }^{2})= 0$
　　 $\to \frac{d }{d \tau }(r^{2}\dot{\theta })-r^{2}\sin \theta \cos \theta \dot{\phi }^{2}= 0$
ここで、$\tau=0$ で、$\theta =\pi /2,\dot{\theta }= 0$　とすれば、常に $\theta(r)=\pi/2$ という平面上を運動することが分かる。つまり、 $\theta=\pi/2$ とおいても運動の一般性を失わないということなので、$\theta=\pi/2$ とおくと

　 $\left ( 1-\frac{r_{g}}{r} \right )c\dot{t}= \varepsilon \; \; \; (=\textup{const.})$
　 $r^{2}\dot{\phi }= {h}' \; \; \; (=\textup{const.})$
(座標時での微分から $h= r^{2}(d\phi /dt)$ としたため、固有時での微分で表した $r^{2}(d\phi /d\tau)$ を ${h}'$ とした。）
次は $r$ に関するオイラーラグランジェ方程式を解くことになるが、それより $\theta(r)=\pi/2$ とした計量から

　 $ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}= \left ( 1-\frac{r_{g}}{r} \right )c^{2}dt^{2}-\frac{1}{1-r_{g}/r}\: dr^{2}-r^{2} d\phi ^{2}$
　　 $\to\; \; c^{2}= \left ( 1-\frac{r_{g}}{r} \right )c^{2}\dot{t}^{2}-\frac{1}{1-r_{g}/r}\: \dot{r}^{2}-r^{2} \dot{\phi } ^{2}$
両辺に $1-r_{g}/r$ を掛けて

　 $\begin{align*} \left ( 1-\frac{r_{g}}{r} \right ) c^{2}&= \left ( 1-\frac{r_{g}}{r} \right )^{2}c^{2}\dot{t}^{2}- \dot{r}^{2}-\left ( 1-\frac{r_{g}}{r} \right )r^{2} \dot{\phi } ^{2}\\ &=\varepsilon ^{2}- \dot{r}^{2}-\left ( 1-\frac{r_{g}}{r} \right )\frac{{h}'^{2}}{r^{2}}\\ &=\varepsilon ^{2}- \dot{r}^{2}-\frac{{h}'^{2}}{r^{2}}+r_{g}\frac{{h}'^{2}}{r^{3}} \end{align*}$
整理すると

　 $\dot{r}^{2}+\frac{{h}'^{2}}{r^{2}}-r_{g}\frac{{h}'^{2}}{r^{3}} -\frac{c^{2}r_{g}}{r} =\varepsilon ^{2}-c^{2}$
ここで、$r_{g}=2GM/c^{2}$ から

　 $\frac{c^{2}r_{g}}{r} =\frac{c^{2}}{r}\cdot \frac{2GM}{c^{2}}= \frac{2GM}{r}$
なので、上式は

　 $\dot{r}^{2}+\frac{{h}'^{2}}{r^{2}}-r_{g}\frac{{h}'^{2}}{r^{3}} -\frac{2GM}{r} =\varepsilon ^{2}-c^{2}$
で、$m/2$ を両辺に掛けると

　 $\frac{1}{2}m\dot{r}^{2}+\frac{m{h}'^{2}}{2r^{2}}-r_{g}\frac{m{h}'^{2}}{2r^{3}} -G\frac{mM}{r} =\frac{m\varepsilon ^{2}-mc^{2}}{2}$
となり、
　左辺第１項　：　並進運動エネルギー
　左辺第２項　：　回転運動エネルギー
　左辺第３項　：　ニュートン力学との補正
　左辺第４項　：　ポテンシャルエネルギー
　右辺　：　(静止エネルギーを含まない)系の総エネルギー
（ここで、運動エネルギーに対しては $\mu=mM/(m+M)$ を使わなけばいけないが、$m \ll M$ から $\mu \approx m $ とした。）
書き直して
　${h}'$　：　単位質量あたりの角運動量
　$(\varepsilon ^{2}-c^{2})/2$　：　単位質量あたりのエネルギー
　$-r_{g}{h}'^{2}/r^{3}$　：　ニュートンポテンシャルに対する補正
ということになります。
さて、もう一度式を見直すと

　 $\frac{\dot{r}^{2}}{2}= \frac{\varepsilon ^{2}-c^{2}}{2}+\frac{GM}{r}+\frac{{h}'^{2}}{2}\left ( -\frac{1}{r^{2}}+\frac{r_{g}}{r^{3}} \right )$
で、全体を $\tau$ で微分すると

　 $\begin{align*} \dot{r}\ddot{r}&= -\frac{GM}{r^{2}}\dot{r}+\frac{{h}'^{2}}{2}\left ( \frac{2}{r^{3}}\dot{r}-\frac{3r_{g}}{r^{4}}\dot{r} \right )\\ &=\left \{ -\frac{GM}{r^{2}}+\left ( \frac{{h}'^{2}}{r^{3}}-\frac{3r_{g}{h}'^{2}}{2r^{4}}\right )\right \}\dot{r}\\ &=\left \{ -\frac{GM}{r^{2}}+\left (1 -\frac{3r_{g}}{2r}\right ) \frac{{h}'^{2}}{r^{3}}\right \}\dot{r} \end{align*}$
よって

　 $\frac{d^{2}r}{d\tau ^{2}}= -\frac{GM}{r^{2}}+\left (1 -\frac{3r_{g}}{2r}\right ) \frac{{h}'^{2}}{r^{3}}$
であり、試験質量 $m$ をかけると

　 $m\frac{d^{2}r}{d\tau ^{2}}= -\frac{GMm}{r^{2}}+\left (1 -\frac{3r_{g}}{2r}\right ) \frac{m{h}'^{2}}{r^{3}}$ 　
と、該当の式 (7.9) が導出されました。

さて、${h}' \approx h$ として試験質量 $m$ をかける前の式に注目すると

　 $\frac{d^{2}r}{d\tau ^{2}}= -\frac{GM}{r^{2}}+\frac{h^{2}}{r^{3}}-\frac{3r_{g}h^{2}}{2r^{4}}$
なので、有効ポテンシャルは

　 $\begin{align*} \psi _{gr}&= -\int \left ( -\frac{GM}{r^{2}}+\frac{h^{2}}{r^{3}}-\frac{3r_{g}h^{2}}{2r^{4}} \right )dr\\ &=-\left ( \frac{GM}{r} -\frac{h^{2}}{2r^{2}}+\frac{r_{g}h^{2}}{2r^{3}}\right )\\ &=-\frac{GM}{r} +\frac{h^{2}}{2r^{2}}-\frac{r_{g}h^{2}}{2r^{3}}\\ &=-\frac{r_{g}c^{2}}{2r} +\frac{h^{2}}{2r^{2}}-\frac{r_{g}h^{2}}{2r^{3}} \end{align*}$
と、73ページの (7.10) 式が出てきました。
　