落下に角運動量を加味する

今回もまた「続・相対論の正しい間違え方」の「ブラックホールは星を砕くか?」の数式を検討するのですが、最初はニュートン力学の範疇の話題なので、まずは「おさらい」というスタンスで勉強していきます。

質点 (\(m\)) がBH( \(M\)) に落下する場合、質点がBHの周りを公転しないなら、重力のみなので、

 

ということになりますが、質点が角速度 \(\omega\) でBHの周りを公転している場合は、いわゆる遠心力が働いて

 
ですが、角運動量は \(mr^{2}\omega \) なので、単位質量当たりの角運動量 \(h\) は

  
これを使うと前式は

 
よって、有効ポテンシャル \(\psi_{N}\) は

 
仮に \(GM=1/2\) および \(h=\sqrt{1/2}\) として図示すると
角運動量付01.jpg

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