落下に角運動量を加味する: T

2020年11月17日

落下に角運動量を加味する

今回もまた「続・相対論の正しい間違え方」の「ブラックホールは星を砕くか？」の数式を検討するのですが、最初はニュートン力学の範疇の話題なので、まずは「おさらい」というスタンスで勉強していきます。

質点 ($m$) がＢＨ( $M$) に落下する場合、質点がＢＨの周りを公転しないなら、重力のみなので、

　 $m\frac{d^{2}r}{dt^{2}}= -G\frac{mM}{r^{2}}$

ということになりますが、質点が角速度 $\omega$ でＢＨの周りを公転している場合は、いわゆる遠心力が働いて

　 $m\frac{d^{2}r}{dt^{2}}= -G\frac{mM}{r^{2}}+mr\omega ^{2}= -G\frac{mM}{r^{2}}+mr\left ( \frac{d\phi }{dt} \right ) ^{2}$
ですが、角運動量は $mr^{2}\omega $ なので、単位質量当たりの角運動量 $h$ は

　 $h= r^{2}\omega = r^{2}\left ( \frac{d\phi }{dt} \right )\; \; \; \; \; \; \; (7.6)$ 　
これを使うと前式は

　 $m\frac{d^{2}r}{dt^{2}}=-G\frac{mM}{r^{2}}+\frac{mh^{2}}{r^{3}}\; \; \; \; \; \; \; (7.5)$
よって、有効ポテンシャル $\psi_{N}$ は

　 $\begin{align*} \psi _{N}&= -\int \frac{d^{2}r}{dt^{2}}dr\\ &=-\int \left ( -\frac{GM}{r^{2}}+\frac{h^{2}}{r^{3}} \right )dr\\ &= GM\int \frac{dr}{r^{2}}-h^{2}\int \frac{dr}{r^{3}}\\ &=-\frac{GM}{r}+\frac{h^{2}}{2r^{2}}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (7.7) \end{align*}$
仮に $GM=1/2$ および $h=\sqrt{1/2}$ として図示すると