潮汐力のおさらい
今回は「続・相対論の正しい間違え方」の「ブラックホールは星を砕くか？」の数式を検討するのですが、最初はニュートン力学の範疇の話題なので、まずは「おさらい」というスタンスで勉強していきます。
設定：物体が１点の特異点に集中している質量 \(M\) の BH から距離 \(r\) だけ離れた質量 \(m\) の物体と、そこからさらに \(\Delta r\) だけ離れた同じ質量 \(m\) の物体をひもで結ぶ。
ひもに掛かる潮汐力 \(F_{||}\) は
^{2}}= GMm\frac{(r+\Delta r)^{2}-r^{2}}{r^{2}(r+\Delta r)^{2}})
^{2}-r^{2}}{r^{2}(r+\Delta r)^{2}}= GMm\frac{2r\Delta r+(\Delta r)^{2}}{r^{2}(r+\Delta r)^{2}})
}{r^{2}(r+\Delta r)^{2}}\; \; \; \; \; \; \; (7.1))
ここで、\(r\gg \Delta r\) とすると、
)
同様に、 \(\Delta r\) だけ離れた２つの物体を、今度は BH へ向かう直線に対して垂直に話した場合の潮汐力を \(F_{\perp}\) とすると、
^{2}}\cos \theta = - 2G\frac{Mm}{r^{2}+(\Delta r/2)^{2}}\cdot \frac{(\Delta r/2)}{\sqrt{r^{2}+(\Delta r/2)^{2}}})
^{2} \right )^{3/2}}\; \; \; \; \; \; (7.3))
ここで、\(r\gg \Delta r\) とすると、
)
これまでの結果を概念図にすると
つまり、BH に落下する物体は縦方向に延ばされ、横方向に縮まることになります。
設定：物体が１点の特異点に集中している質量 \(M\) の BH から距離 \(r\) だけ離れた質量 \(m\) の物体と、そこからさらに \(\Delta r\) だけ離れた同じ質量 \(m\) の物体をひもで結ぶ。
ひもに掛かる潮汐力 \(F_{||}\) は
ここで、\(r\gg \Delta r\) とすると、
同様に、 \(\Delta r\) だけ離れた２つの物体を、今度は BH へ向かう直線に対して垂直に話した場合の潮汐力を \(F_{\perp}\) とすると、
ここで、\(r\gg \Delta r\) とすると、
これまでの結果を概念図にすると
つまり、BH に落下する物体は縦方向に延ばされ、横方向に縮まることになります。
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