量子場と波動関数の違いの分かる問題7

堀田昌寛先生がツイッターで出題されている「量子場と波動関数の違いの分かる問題」の問題7です。

[問題7]-----------------------------
 
で定義される粒子数演算子は、2体系のポテンシャルを含んだハミルトニアンとも可換であることを示せ。
 
----------------------------------

計算が煩雑になるようなので、ハミルトニアンを分けます。
 
 
つまり
   
ということです。
さらに、
 
  
  
から
  
  
  
  
また
 
   
  
で、第1項は
 
   
  
   
  
  
  
  
第2項は
 
  
  
  
  
  
  
  
よって、
 
  
  
 
  

したがって
 
  
  
  
  
  
  
  
   

つまり
   
 
  

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