3章 ディラック場(1)

"The Dirac Field" の導入部と "3.1 Lorentz Invariance in Wave Equations" の1回目を読んでいきたいと思います。

最も単純な相対論的場の方程式を徹底的に扱ったので、次に最も単純なディラック方程式に移ります。ディラック方程式を元の形で、つまり単一粒子の量子力学的波動方程式としてすでにご存じかもしれません。この章では、私たちの見解はかなり異なります。最初に、相対論的不変性に特に重点を置いて、ディラック方程式を古典的な相対論的場の方程式として再導出します。次に、セクション3.5で、クライン・ゴルドン場に使用される方法と同様の方法でディラック場を量子化します。

3.1 波動方程式のローレンツ不変性

最初に、第2章で一掃した質問に対処する必要があります。方程式が「相対論的に不変」であると言うとき、私たちは何を意味しますか?適切な定義は次のとおりです。 が場または場の集まりであり、 が微分演算子である場合、「 は相対論的に不変」という文は、 がこの方程式を満たし、回転を実行することを意味します。 または別の参照慣性系にブーストすると、変換された場は新しい参照慣性系で同じ方程式を満たします。同様に、すべての粒子または場を共通の角度または速度で物理的に回転またはブーストすることを想像できます。 この場合も、変換後の式 は真になります。次の分析では、この「アクティブな」視点を変換に採用します。

場の理論のラグランジアン定式化は、ローレンツ不変性を特に容易にします。運動方程式は、ローレンツ不変性を議論するのが自動的に簡単です。ローレンツスカラーであるラグランジュ行列から続く場合、運動方程式は上記の定義によって自動的にローレンツ不変になります。これは最小作用の原則の直接の結果です。ブーストによってラグランジアンが固定されないままになる場合、作用での極値のブーストは別の極値になります。

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