3章 ディラック場(4)

"3.1 Lorentz Invariance in Wave Equations" の4回目を読んでいきたいと思います。

このテンソル表記法では、大きなクラスのローレンツ不変方程式が得られますが、まだまだあることがわかります。それらをどのように見つけるのでしょうか? 場に対して考えられるすべての変換法則を体系的に見つけようとすることができます。その場合、不変のラグランジアンを書くのは難しくありません。そのため、 成分の多重項である場合、ローレンツ変換の法則は 行列 によって与えられます。

  
最も一般的な非線形変換の法則はこれらの線形変換から構築できるため、(3.8)よりも一般的な変換を検討してもメリットはありません。 以下の説明では、フィールド引数の変更を抑制し、変換(3.8)を

  
の形式で記述します。
行列 の可能な形式は何でしょうか? の基本的な制限は、2つの連続する変換 を想像することで見つかります。最終結果は、新しいローレンツ変換 でなければなりません。つまり、群を形成するローレンツ変換 これは、行列 が満たす必要がある整合性条件を提供します。2つの変換のシーケンスの下で、 の場合は

  
です。したがって、行列 と変換 の間の対応は、乗算の下で保存されなければなりません。 数学の言葉では、行列 はローレンツ群の 次元表現を形成する必要があると言います。 したがって、私たちの質問は数学の言葉で言い換えられます:ローレンツ群の(有限次元)行列表現は何でしょうか?


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