「反変ベクトル・共変ベクトルの続き(1)」の再掲

さらに「反変ベクトル・共変ベクトルの続き(1)」も再掲したいと思います。

基底ベクトルの具体的な形を考えてみました。
まず、図を見て下さい。

反変共変成分_2.jpg

の成す角度を とし、 を直交座標の の方向にとることにします。さらに という条件から、直交座標で表すと、

 
と図から、仮の正の実数を として、

 
となるでしょう。ここで、 から

 
よって、

 
です。また、 と図から、仮の正の実数を として、

 
であり、 なので

 
つまり

 
です。まとめると

 
これから、計量テンソルを求めると、

 
 
  

で、行列表現では

 

と互いに逆行列になっていることが分かります。

次にベクトル にもっと具体的なパラメータを与えてみましょう。
とし、 が成す角度を とすると、図から

 
 
 
  

で、まとめると

 

ここから

 
  
    


つまり

 

となり、一般に、ベクトル の内積は、

 

です。
 

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