重力による時計の遅れをニュートン力学と特殊相対論で説明する

時空の力学」を参考にして、書いてみました。

落下するエレベータ内の時計(固有時の刻み)を考えることで、「重力による時計の遅れ」を考察します。
モデルは次の図に示します。

画像


最初 P に停止していたエレベータが、ある時点で自由落下を始めて P に達した状態で、その間に高さにして だけ落下したとします。
そのときの速度は下向きを正として、ニュートン力学の知見から となるでしょう(こういうところが近似理論です)。

 

ということから、Q点の固有時の刻みで座標時の単位刻みを表すと

 

となるでしょう。よって、

  >

さて、このモデルは一旦忘れて、計量で固有時を求めてみます。

 

なので、

 

ですが、「弱い重力場」のおさらい にあるように、弱い重力場では、

 

であることを踏まえて

  
  

となります。ポテンシャルとして を採用すると、

  

と、ニュートン力学と特殊相対論で求めたものと同じになります。

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