特殊相対論のおさらい(5)_1形式

「1形式(1-form)」あるいは共変ベクトルを定義し、導入します。これに対応して前回まで扱ったベクトルは反変ベクトルといいます。

反変ベクトル : 共変ベクトルと反対の変換をするベクトル
慣性系 から慣性系 へのローレンツ変換 :

 

だとして、逆変換を

 

と書き

 

と表現できます。このとき、この逆行列で変換される4成分の量を考え、その変換則を

 

と書きます。
成分がこのような変換をする4成分量を1形式、あるいは共変ベクトルといいます。
共変ベクトルとその成分を次のように書きます。

 

の内積を

 

と定義すると、

 

と座標変換でも変化しないスカラー量になります。
ここではこの性質をもって「1形式」を定義します(一般的な1形式はこのwikiediaにあるようですが、私には良く分かりませんでした)。すなわち、

1形式とは
 「ベクトルに作用してスカラーを作る線形の作用である
とするのです。

このことを表わすために

 

という表記をしましょう。ここで とすると線形性とは

 

となることは周知のことと思います。

ここで、共変ベクトルの例をあげましょう。
いま時空上のスカラー関数 を考えて、その偏微分を成分とする量を考えましょう。

 

さて、

 
 
つまり、

 

となって、成分が共変ベクトルであることが分かります。この量を 勾配1形式 (gradient 1-form) といって、 で表します。


 

この1形式とベクトル の内積を考えます。

 

これの意味するところは、「 の値の 方向の変化量」ということです。

・計量テンソルと反変ベクトル・共変ベクトルの関係

  計量テンソルが与えられると反変ベクトルと共変ベクトルに一対一対応がつくということを示します。

 反変ベクトル に対応する共変ベクトル の成分を次のように定義します。

 

そうすると、

 

ここで、計量テンソルの性質

 

から

 

つまり、

 

と共変ベクトルの性質を示します。
反対に共変ベクトル に対応する反変ベクトル の成分は

 

最後にスカラー積は

 

となります。

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