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zoom RSS 「粒子の分布について_(2)」の再掲

<<   作成日時 : 2018/12/05 00:01   >>

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標題の記事を再掲します。

最もありそうな分布を求める中で、その粒子数が粒子の違いによってどうなるかを求めてきましたが、ここでまとめてみると、

 

という形になることが分かります。ここで、

 古典的粒子・・・
 ボーズ粒子 ・・・
 フェルミ粒子・・・

という形にまとめられることになります。
条件式に代入すると、

 
 

です。

ここで、 の意味を考えます。組み合わせ数 の微分は

[古典的粒子]

 
  


[ボーズ粒子]

 
  
  
  
  


[フェルミ粒子]

 
  
   
   
  

ということになり、どの粒子も

 

という形になります。
エントロピーは  なので、

 

となります。一方、熱力学で、同種粒子を 個含む系の温度 における内部エネルギー の全微分は

 

で、 は系の圧力と体積で、 は化学ポテンシャルと呼ばれる量ということです。よって

 

で与えられます。ところで、

 
  

なので、

 

と書けます。よって、

 

が求まりました。これを に代入すると、

 

なので、

 

となります。 とすると、

 

となります。
ここで、もう一度まとめると、

 

という形になることが分かります。ここで、

 古典的粒子・・・
 ボーズ粒子 ・・・
 フェルミ粒子・・・

これから、エネルギー値が で、 重に縮退した準位のうち、占められているものの割合、

 

となります。もう少しちゃんと書くと

[古典的粒子:マックスウェル・ボルツマンの分布関数]

 

[ボーズ・アインシュタインの分布関数]

 

[フェルミ・ディラックの分布関数]

 

画像

 

 

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