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zoom RSS 3次元の回転の勉強(3)

<<   作成日時 : 2018/12/03 00:01   >>

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だいぶ間が空いてしまいました。前回では直交3軸(xyz)の回りを回転させていましたが、任意の軸での回転に話題をひろげましょう。
原点を通る回転軸をひとつ固定して、この軸に垂直な面内を平面回転するイメージです。

つまり、こういうイメージです。

画像


回転軸の向きを決めるため の2つのパラメータが必要、軸と垂直な面内の回転角

つまり、 の3つのパラメータが必要ということになります。このパラメータの標準的な取り方がオイラー角と呼ばれるものです。

このオイラー角を勉強しますが、ここで、  : 任意の3次元回転行列 とします。

さて、この によって、第3軸方向の単位ベクトル を回転し、ベクトル を作ります。

画像


なんでこういうことをしているか?というと、目的はこの行列 を第 軸の周りの回転行列 の積で表わすことです。

次に、ベクトル を第3軸の周りに回転し、第 2-3 平面内にのるようにします。

画像


だけ回転させることです。つまり、

 

このベクトルが第 2-3 平面内にあるため、 とは直交するので、

 

さて、このベクトルを第1軸の周りに回転させると、元の に移すことが出来ます。この角度を としますが、前の の回転を行うとき、

  >  

が成り立つようにします
 
こうすると、

 
 
となりますが、 という変換は を不変にする(回転)変換ということになりますね。
これを第3軸回りの回転変換行列 とすると

 

ということになり、ここから

 

つまり、任意の3次元の回転行列は

 

と表わされることになり、この3つの角 オイラー角と呼ばれます。

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