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zoom RSS 美しい変数変換を鑑賞しよう

<<   作成日時 : 2018/10/28 00:01   >>

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ツイッターの記事にあった、公式の証明で、積分の変数変換が美しいので鑑賞することにしましょう。
参考文献は Daniel Zwillinger 『Handbook of Integration』 だそうです。

証明すべき式は

  

です。ツイッターにあった画像は次の通り
画像

この3行目の前半までは本題の「積分の変数変換」とは直接関係ありませんが、級数和をこういう積分までもってくるのも素晴らしいアイディアです。
ここまでは初歩の積分と等比数列の和を知っていれば理解できます。ちょと野暮になりますが、説明しておきます。

  

は単に表記の違いなので、特に問題ないでしょう。

 

から、

 

も納得できます。これに付け足すと
 

です。括弧の中は定積分なので、最右辺で x → y のように変数名を変えても問題ありません。さらにこうすると x と y は独立なので、

 

という2重積分で表現できます。さらに、 

 

と変形し、等比数列の和から

 

なので、

 

となり、

 

という3行目前半までの証明となります。
ここで、掲題の積分の変数変換はヤコビアン行列を見ると

 

という変数変換をするようですね(x と y は独立なので逆の割り付けでも良い)。
ここで積分範囲は ですが、 なので、このままでは矛盾することになります( が成立しません)。そこで、
 

という関係から上限に という制限を付けると 

 

となって辻褄を合わすことができます。つまり、積分範囲は下図のように考えます。
画像


よって

 
 
で、

 

となりました。最後の積分は

 
  

で、

  

となりました。

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