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zoom RSS 「群と線形変換の関わり」を再掲

<<   作成日時 : 2018/10/10 00:01   >>

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群と線形変換の関わり」を再掲します.

2次元ベクトルの回転と群の関係を整理しましょう。

2次元ベクトル空間   がどちらも の元であることを と表します。
などの線形変換を と書くことがあります。
ベクトル  に が行列の積として左から作用して、その結果(これが→の意味) へ写されることを抽象的に表しています。
この抽象化は、「2次元回転は 上の線形変換であり、回転行列 はその変換を具体的に表わす『表現(representation)』である」ということです。

例:群 を抽象的に定義。
の元はひとつの連続変数 の値で決定され、それを  と書く。
   群の元    [ただし、 について周期 をもつものとする]
   <演算ルール>
   群の積  
   単位元  
   逆元    
以上が群 の定義

この抽象的なルールに実体を与える役割を2次元回転行列 が果たすことになります。
すなわち、
   群の元 
の対応を与えると、
   <演算ルール>
   群の積  
   単位元   
   逆元   

これは群 のルールに完璧に一致し、行列 の元 を表現しているのです。

図式的に表わすと、   [群 ] ⇒ [行列 ]   : 対応

一方、行列 はベクトル空間 上に作用している線形変換であることを表わすと、

   [行列 ] ⇒ [ベクトル空間 行列]   : 線形変換としての作用

よって、   [群 ] ⇒ [行列 ] ⇒ [ベクトル空間 行列] 
となります。


逆に辿ると、 ある [ベクトル空間 ] を考え、その上の線形変換を [行列 ] で表わす。
ここで、 [群 ] の積を行列 の積によって与え、単位元は単位行列で与えれば、群の定義が満たされます。

このことを、群 をベクトル空間 上で行列によって「表現」するといい、そのような群の表現を「行列表現」といいます。
ここで具体的に現れる行列Rを群 上の「表現行列」とよびます。また、 の次元をもって、考えている行列の「次元」といいます。表現行列 のサイズはこの の次元で決まります。

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