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zoom RSS もう一度「行列と変換群」を読んでみようか(1)

<<   作成日時 : 2018/09/04 00:01   >>

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キーポイント 行列と変換群」を大分前に読んで、途中で投げ出してました。もう一度ゆっくり読んでみたと思います。しかし、あまり初歩的で知っているようなところは飛ばします。

・2次元の座標回転

 原点を中心とする2次元直交座標系の反時計回りの角度 の回転は2×2行列

 
 
で表わされる(2次元回転行列) 。

 
  

つまり、

 

ここから

 

なので、

 

また とおくと

 

と、当然のように単位行列(恒等変換)になります。
また、

 

となり、行列式がゼロでない行列を、正則行列といいます。正則行列は逆行列を持ちます。

 

このように逆方向(時計方向)に同じだけ回せば元に戻るので、このようになるのも頷けますね。
また、この変換は

 

で可換です。


・直交行列

 

という性質を持つ行列を直交行列といいます。この2次元回転行列も直交行列になっています。
ここで、

 

で、

 

となります。


・2次元ベクトルと複素数

 

とすると、

 

で、スカラー倍は

 

で、対応します。ではベクトルの内積は

 

なので、共役複素数

 

とすると、

 
  
 
  
 
から

 

となります。
ここから

 

であり、複素数 の絶対値

 

で定義するので、2次元ベクトルの のノルムは複素数 の絶対値に等しく

 

が成り立ちます。

今日はこの辺で。。

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