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zoom RSS 3次方程式の解(1)

<<   作成日時 : 2018/09/27 00:01   >>

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ガロア理論の再勉強をしようとしてまして、備忘録として3次方程式の解について書いておきましょう。

まず、3次方程式の一般形を書いておきますが、体の拡大とかを後々考えていくので、係数は整数としておきましょう。

 

で全体を割ると

 

と、有理数係数の3次方程式になります。ところで、

 

なので、 とすると

 

となり、問題の3次方程式の左辺  と比べると  の項まで同じです。
よって、 

 
  
  
  
  

つまり、

 

となることが分かります。
ここで、

 

とおくと、上式の右辺は  と書けることになります。


つまり、

 

という3次方程式が  という変換を行うと、

 

に書き換えられることが分かります。
2次の項が無くなったので、少し簡単になりましたね。しかし、3次方程式であることはかわりませんので、これだけでは解は求まりません。
   
ここで、  の3つの解を、としてみます。

 
  

から、

 

という連立方程式が出てきましたが、ここから一つの解(例えばα)についてまとめても

 

のような、当たり前の式が出てくるだけです。
この中で係数 に絡んでいない、 から  であり、  の解なので、

 

が成り立つはずですね。
これから分かることは、未知数 についての方程式



の「一組の根」が見付かれば、最初の3次方程式は解けるということになります。
この「一組の根」というのがミソなんです。とりあえず一組だけ求まれば良い。

 

なので、

 

ここで、 とすると、 となりますので、書き換えると

 

です。ナント

 

とすると、これは2次方程式の2つの解と係数の関係になりますね。つまり

 

なので、

 

という2次方程式の2つの解が とになります。

今日はこの辺で。。

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