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zoom RSS 「メネラウスの定理」というのを知らなくて解けなかった。

<<   作成日時 : 2018/08/05 00:01   >>

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高校数学に当たるのは高専で習ったのですが、「メネラウスの定理」というものの記憶がありません。多分習ってないのだと思います。なので、次の問題を解くとき悩んでしまいました。。

「」数学甲子園2017 第10回 全国数学選手権大会 予選」の問題4です。

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AB = 8, BC = 15, CA = 17 の△ABC に円が内接している。
円と辺 AB, BC の接点をそれぞれ D, E とする。
線分 AE と線分 CD の交点を F とするとき、CF: FD を求めよ。
-------------------------------------------

この状況を図にすると、次のようになります。

画像


話に都合上、円と辺 CA の接点を G としました。
△AID ≡ △AIG 、 △BID ≡ △BIE、 △CIG ≡ △CIE から、
AD = AG ≡ x 、BD = BE ≡ y 、CE = CG ≡ z 、とすると、

 

で、これは

 
 
と解けます。この数字を入れて該当部分を抜き描きすると、次のようになります。

画像


メネラウスの定理」を使うと、

 

から、

 

つまり となります。

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