ちょっとした「つり鐘型曲線」を描いてみる T_NAKAの阿房ブログ/ウェブリブログ

ちょっとした「つり鐘型曲線」を描いてみる

<< 作成日時： 2017/04/12 00:01 >>

普通 bell-shaped curve というと正規分布なんでしょうが、ここでは２次曲線を繋げてそれらしき曲線を描くということです。

次図のように一辺の長さが "1" の立方体を考えて、各直交軸の同じ距離の点を結んだ図形（この場合は正三角形）の面積を考えます。
この図形はあくまでもこの立方体の内部にあるという条件です。

この領域 $\110dpi 0\leq x\leq 1$ では一辺が $\110dpi \sqrt{2}\: x$ の正三角形になるので、面積は

　 $S=\frac{\sqrt{3}}{2}\: x^{2}$

となるでしょう。ここで $\110dpi x$ はこの立方体の外にとっても良くて、この場合は大きな正三角形のうちこの立方体に切り取られた六角形の部分になります。

ここでは、一辺が $\110dpi \sqrt{2}\: x$ の正三角形の面積から３つの一辺が $\110dpi \sqrt{2}\: (x-1)$ の正三角形の面積を引いたものになります。つまり、

　 $S=\frac{\sqrt{3}}{2}\: x^{2}-3\times \frac{\sqrt{3}}{2}\: (x-1)^{2} =\frac{\sqrt{3}}{2}\left \{ x^{2}-3(x-1)^{2} \right \}=\frac{\sqrt{3}}{2}\left \{ x^{2}-3(x^{2}-2x+1) \right \}$
　　 $=\frac{\sqrt{3}}{2}\: (x^{2}-3x^{2}+6x-3)=\frac{\sqrt{3}}{2}\: (-2x^{2}+6x-3)= -\sqrt{3}\left ( x^{2}-3x+\frac{3}{2} \right )$

です。この赤い線で囲んだ六角形は $\110dpi 1\leq x\leq 2$ の範囲で現れるものです。

2 以上、具体的には $\110dpi 2\leq x\leq 3$ となりますが、この範囲は図のように正三角形です。

つまり、領域 $\110dpi 0\leq x\leq 1$ と対称なので、

　 $S=\frac{\sqrt{3}}{2}\: (3-x)^{2}$ 　

です。

まとめると、
　
　 $S=\frac{\sqrt{3}}{2}\: x^{2}\; \; \; \; (0\leq x\leq 1)$
　 $S=-\sqrt{3}\left ( x^{2}-3x+\frac{3}{2} \right )\; \; \; \; (1\leq x\leq 2)$
　 $S=\frac{\sqrt{3}}{2}\: (3-x)^{2}\; \; \; \; (2\leq x\leq 3)$

となり、グラフを描くと次のようのなります。

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