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zoom RSS 直交行列について

<<   作成日時 : 2016/01/08 00:01   >>

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EMAN さんの物理数学のページで「リー群論」が書き進められていて、大変ためになります。それに触発されて、自分のために備忘録として関連事項を考えてみたことを書いておきます。


今回は「直交行列」について考えますが、直交行列(wikipedia)に多くのことが書かれているので、そんなに付け加えることはないんですが、自分なりにイメージを持ちたかったのが理由です。

さて、今回は \(O(2)\) で要素が実数のものを考えます。ここで、\(O(2)\) に属する 2×2 行列のひとつを \(A\) とします。 
 
とすると、
 
ですが、直交行列の性質から
 

 
となります。ここで行列式を計算すると、
 
であり、直交行列(wikipedia)にあるように \(|A|^{2} = 1\) なので、
 
です。

\(|A|=+1\) の場合、
 
であり、\(a= \cos \theta\) とすると、
 
で、これはお馴染みの反時計回り、時計回りの回転変換ですね。
 \(SO(2)\) というのは \(O(2)\) の中の行列式が \(1\) のもので作ったため、まさにその一例が回転群であった訳ですね。

\(|A|=-1\) の場合、
 
であり、\(a= \cos \theta\) とすると、
 
となります。これは何を示しているのでしょう?
 これを \((x,y)\rightarrow ({x}',{y}')\) の座標変換行列とみて、回転座標変換と比較すると \({x}'\) は変わらないのですが、 \({y}'\) は符号(±)が逆になっていることが分かります。これは 回転+ \({x}'\)軸での鏡映変換 ということになるのかもしれません。特に回転と言わなくても \({x}\)軸に対して \(\theta \) の傾きを持った直線での鏡映変換と言っても良いでしょう。

 

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