無限平面からの重力場について

まあ、そんなに難しい内容ではありません。相対論カテゴリーにしてありますが、Newton 力学の範囲ですし、電磁気学の「無限平板上に電荷が面密度ρで一様に分布しているとき,平板に垂直な直線上の電場を求めよ」というような練習問題の重力版だと思って下さい。力が逆2乗なので、同じ様な形になることが想像されますね。

[問題]================
無限平板上に質量が面密度σで一様に分布しているとき,平板に垂直な直線上の重力場を求めよ。
具体的には、平面から垂直な距離Rにある試験質量 m に働く重力はどの位か?
======================

状況は下図のようになります。

画像



ここから分かることは、試験質量 m に対する微少質量 rdθ・dr からの重力 |Δf| は 



であり、平板上の逆にある微少質量 rdθ・dr からの重力も |Δf| で方向のみが違い、合力 ΔF は平板に垂直な直線上に(平板方向に向いた)力になります。 |ΔF| は、



となります。これを全平面で積分したものを F とすると、



です。ここで、



という変数変換を行うと、



なので、



となります。
これから分かることは、重力が平板からの距離Rに無関係な一定値をとり、方向は常に平板に垂直な方向であることです。
これは、(非相対論的ではありますが)宇宙空間を等加速度運動している宇宙船内に発生する慣性力と全く区別が付かないということになります。これは平板が無限であるためで、数学的には正しいですが、実際に物理的に意味があるモデルかどうかは疑問のあるところですね。





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J. A. Wheeler

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この記事へのコメント

2020年12月16日 16:32
無限長の棒状質量物体による重力ポテンシャルはどうなりますでしょうか?
 銀河の回転運動に関係するのではと思っています。
T_NAKA
2020年12月17日 13:07
コメントありがとうございます。この記事内容が物理的に意味があるのか?疑問ですし、計算も簡単だと思いますので、申し訳ありませんが、ご自分で計算されるのをお勧めいたします。

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  • 円板からの重力は?

    Excerpt: 「無限平面からの重力場について」http://teenaka.at.webry.info/201203/article_3.html という記事を書いたのですが、「無限」じゃなくて「有限」だったら、ど.. Weblog: T_NAKAの阿房ブログ racked: 2012-03-05 06:57