ゲージ場の量子化（８-１）
この節の最後の例題になります。
[例題]==============================
ユークリッド経路積分表示
^{2}}{4}+\frac{\left ( \partial _{\mu } A_{\mu }^{a}\right )^{2}}{2\xi } +\partial_{\mu }\bar{c}^{a}\left ( \boldsymbol{D}_{\mu } \right )^{ab} c^{a} +J_{\mu }^{a}A_{\mu }^{a}\right ) \right ] "\times \exp \left [- \int d^{4}x_{E}\left (\frac{\left ( F_{\mu \nu }^{a} \right )^{2}}{4}+\frac{\left ( \partial _{\mu } A_{\mu }^{a}\right )^{2}}{2\xi } +\partial_{\mu }\bar{c}^{a}\left ( \boldsymbol{D}_{\mu } \right )^{ab} c^{a} +J_{\mu }^{a}A_{\mu }^{a}\right ) \right ]")
が、次のように書き換えられることを示せ。
^{2}}{4}+\frac{\xi }{2}\left ( B^{a} \right )^{2}-iB^{a}\partial_{\mu }A_{\mu }^{a} +\partial_{\mu }\bar{c}^{a}\left ( \boldsymbol{D}_{\mu } \right )^{ab} c^{a} +J_{\mu }^{a}A_{\mu }^{a}\right ) \right ] "\times \exp \left [ -\int d^{4}x_{E}\left (\frac{\left ( F_{\mu \nu }^{a} \right )^{2}}{4}+\frac{\xi }{2}\left ( B^{a} \right )^{2}-iB^{a}\partial_{\mu }A_{\mu }^{a} +\partial_{\mu }\bar{c}^{a}\left ( \boldsymbol{D}_{\mu } \right )^{ab} c^{a} +J_{\mu }^{a}A_{\mu }^{a}\right ) \right ]")
ここで、場
を中西-ロートラップ（Nakanishi-Lautrup）場という。さらに、ソース項 
を除いた部分が、次のＢＲＳＴ（Becchi-Rouet-Stora-Tyutin）変換
\equiv i\lambda \left (\boldsymbol{D}_{\mu } \right )^{a}\left ( x \right )\\ \delta c^{a}\left ( x \right )\equiv -i\lambda \frac{g}{2}f_{abc}c^{b}\left ( x \right )c^{c}\left ( x \right )\\ \delta \bar{c}^{a}\left ( x \right )\equiv \lambda B^{a}\left ( x \right )\\ \delta B^{a}\left ( x \right )\equiv 0 \end{cases} "\begin{cases} \delta A_{\mu }^{a}\left ( x \right )\equiv i\lambda \left (\boldsymbol{D}_{\mu } \right )^{a}\left ( x \right )\\ \delta c^{a}\left ( x \right )\equiv -i\lambda \frac{g}{2}f_{abc}c^{b}\left ( x \right )c^{c}\left ( x \right )\\ \delta \bar{c}^{a}\left ( x \right )\equiv \lambda B^{a}\left ( x \right )\\ \delta B^{a}\left ( x \right )\equiv 0 \end{cases}")
で不変であることを示せ。ここで
はグラスマン数である。
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この本では「中西-ロートラップ場、および FP ゴーストを含む項をまとめてゲージ固定項」と呼ぶようです。
さて、ガウス積分による恒等式
-i\frac{1}{\xi } \partial _{\mu }A_{\mu }^{a} \left ( x \right )\right )^{2} \right ] "1= \int \mathcal{D}B^{a}\exp \left [ -\frac{\xi }{2}\int d^{4}x\left (B^{a}\left ( x \right )-i\frac{1}{\xi } \partial _{\mu }A_{\mu }^{a} \left ( x \right )\right )^{2} \right ]")
^{2} -i\frac{2}{\xi }B^{a}\partial _{\mu }A_{\mu }^{a}-\left ( \frac{\partial _{\mu }A_{\mu }^{a} }{\xi } \right )^{2}\right \} \right ] "= \int \mathcal{D}B^{a}\exp \left [ -\frac{\xi }{2}\int d^{4}x \left \{ \left ( B^{a} \right )^{2} -i\frac{2}{\xi }B^{a}\partial _{\mu }A_{\mu }^{a}-\left ( \frac{\partial _{\mu }A_{\mu }^{a} }{\xi } \right )^{2}\right \} \right ]")
^{2} -iB^{a}\partial _{\mu }A_{\mu }^{a}-\frac{\xi }{2}\left ( \frac{\partial _{\mu }A_{\mu }^{a} }{\xi } \right )^{2}\right \} \right ] "= \int \mathcal{D}B^{a}\exp \left [ -\int d^{4}x \left \{ \frac{\xi }{2}\left ( B^{a} \right )^{2} -iB^{a}\partial _{\mu }A_{\mu }^{a}-\frac{\xi }{2}\left ( \frac{\partial _{\mu }A_{\mu }^{a} }{\xi } \right )^{2}\right \} \right ]")
の係数を汎関数積分測度に含めて、
^{2} -iB^{a}\partial _{\mu }A_{\mu }^{a}\right ) \right ] "1= \int \mathcal{D}B^{a}\exp \left [ -\int d^{4}x \left ( \frac{\xi }{2}\left ( B^{a} \right )^{2} -iB^{a}\partial _{\mu }A_{\mu }^{a}\right ) \right ]")
と書き直して、問題文の最初の式に挿入すれば、
が得られます。
今日はこの辺で。。
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ユークリッド経路積分表示
が、次のように書き換えられることを示せ。
ここで、場
で不変であることを示せ。ここで
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この本では「中西-ロートラップ場、および FP ゴーストを含む項をまとめてゲージ固定項」と呼ぶようです。
さて、ガウス積分による恒等式
の係数を汎関数積分測度に含めて、
と書き直して、問題文の最初の式に挿入すれば、
が得られます。
今日はこの辺で。。
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