４次元ユークリッド空間内の３次元球面上の計量について: T

2011年06月12日

４次元ユークリッド空間内の３次元球面上の計量について

ぶっちゃけて話すと、これは後で扱うロバートソン＝ウォーカー計量の空間部分計量の説明の一部を前もって考えておこうという記事です。
しかし、数学的に考えてどうか？ということなので、ロバートソン＝ウォーカー計量ということを気にしなくても良い内容です。

まず、$4$次元ユークリッド空間の計量は

$ds_{E}^{2}= \left ( dx^{1} \right )^{2}+\left ( dx^{2} \right )^{2}+\left ( dx^{3} \right )^{2}+\left ( dx^{4} \right )^{2}$

です。ここで、$3$次元を曲座標で表すと、

$x^{1}= r\sin \theta \cos \varphi \; \; ,\; \; x^{2}= r\sin \theta \sin \varphi \; \; ,\; \;x^{3}= r\cos \theta$

なので、最初の式は

$ds_{E}^{2}= dr^{2}+r^{2}\left ( d\theta^{2} +\sin ^{2}\theta \: d\varphi^{2} \right )+\left ( dx^{4} \right )^{2}\;\; \; \; \; \; \left ( 1 \right )$

となりますね。
さて、$4$ 次元ユークリッド空間内の$3$ 次元球面というのは、半径を $R$ とすると、

$\left ( x^{1} \right )^{2}+\left ( x^{2} \right )^{2}+\left ( x^{3} \right )^{2}+\left ( x^{4} \right )^{2}=R^{2}$

ですが、ここでも $3$ 次元を曲座標で表すと

$r^{2}+\left ( x^{4} \right )^{2}=R^{2}$

です（ここで球面なので、$r = R$ ということではないのか？という疑問もありますが、このままで進めます）。
この式から $x^{4}$ を求めると、

$\left ( x^{4} \right )^{2}=R^{2}-r^{2}\; \Rightarrow \; x^{4}= \left ( R^{2}-r^{2} \right )^{1/2}$

なので、

$dx^{4}= -\left ( R^{2}-r^{2} \right )^{-1/2}rdr \; \; \; \; \; \; \; \; \left ( 2 \right )$

となり、（２）式を（１）式に代入すると、

$ds_{E}^{2} = dr^{2}+r^{2}\left ( d\theta^{2} +\sin ^{2}\theta \: d\varphi^{2} \right )+\frac{r^{2}}{R^{2}-r^{2}}dr^{2}$
$= \frac{R^{2}}{R^{2}-r^{2}}dr^{2} +r^{2}\left ( d\theta^{2} +\sin ^{2}\theta \: d\varphi^{2} \right )$
$= \frac{1}{1 -\frac{r^{2}}{R^{2}} }dr^{2} +r^{2}\left ( d\theta^{2} +\sin ^{2}\theta \: d\varphi^{2} \right )$

ですが、$K\equiv 1/R^{2}$ とすると、最終的には

$ds_{E}^{2} = \frac{1}{1 -Kr^{2}}\, dr^{2} +r^{2}\left ( d\theta^{2} +\sin ^{2}\theta \: d\varphi ^{2}\right )$

となります。
「球面なので、$r = R$ ということではないのか？」という疑問を差し挟んでおきましたが、$3$ 次元球面なので、$r$ 自体は定数ではなくて変数なので、当たり前といえば当たり前なのでした。