球面上のピタゴラスの定理_(1)

「ピタゴラスの定理でわかる相対性理論」に書いてあった内容で面白いものを少し紹介します。
著作権の問題もありますので、全部をそのまま載せるつもりもありませんし、あくまで興味のあった部分を自分なりに書くだけです。そこのところ宜しく。。

まず、下図のような直角三角形を考えます。

画像


この場合、「ピタゴラスの定理」から、 a2=b2+c2 ということは衆知の事実だと思います。
この直角三角形が球面上に描かれていた場合、このピタゴラスの定理に相当する関係を求めようという企画です。
勿論、この直角三角形の3頂点は「直線」で結ばれています。
この場合の「直線」は「球面上の最短距離」を結んだもので、所謂「大円」になります。(「測地線」ですね。)

まず、問題を簡単にするために、対象となる球の半径を"1"としましょう。
そうして、底面が該当の直角三角形ABCで頂点が球の中心である「三角錐」を考えます。
この側面を展開してバラバラにしたのが次の図です。

画像


これを見て頭の中で組み立ててみて下さい。

それでは説明を始めましょう。
点BからOCに下ろした垂線の足をE、OAに下ろした垂線の足をDとします。
こうしてΔBEDという補助三角形ができました。ここから、

cos(a)=OE/OB、cos(b)=OE/OD、cos(c)=OD/OB

ですが、

OE/OB=(OE/OD)・(OD/OB)

が言えるので、

cos(a)=cos(b)・cos(c)

となり、これが「球面上のピタゴラスの定理」だと、この本では説明しています。

これを、球の半径を"1"でなく、rとした場合は

cos(a/r)=cos(b/r)・cos(c/r)

となります。
"r"が入ってカッコワルイのは分かるんですが。。
こちらの方が「球面上のピタゴラスの定理」としては適切だと思いますね。

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この記事へのコメント

hirota
2008年01月23日 16:11
なるほど、cos(a/r) = cos(b/r)cos(c/r) を展開すると、
 1 - a^2/r^2 ≒ (1 - b^2/r^2)(1 - c^2/r^2) ≒ 1 - b^2/r^2 - c^2/r^2
 (r→∞)→ a^2 = b^2 + c^2
ですか。
T_NAKA
2008年01月24日 10:32
hirotaさん、コメントありがとうございます。

そうですね。しかし、球面上のピタゴラスの定理など、あまり考えたことがなかったので、面白いと思いました。
匿名
2020年12月10日 16:11
面白い

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