反変ベクトル・共変ベクトルの続き(2)

ここで、直交座標を考えて、元の座標からの変換を考えてみます。(普通は直交座標→斜交座標という変換を考えるのでしょうが、ここは敢えて逆をやってみました。)

ここで、直交座標の反変・共変ベクトルは同じなので、各基底は、
e'1=e'1=[
1
0
]
e'2=e'2=[
0
1
]であり、各成分は
A'1=A'1=a・cosθ  A'2=A'2=a・sinθ
そうすると、
A1=A'1+(-1/tanφ)A'2  A2=(1/sinφ)A'2
A1=A'1  A2=cosφ・A'1+sinφ・A'2
となります。よって、求める変換はこの逆変換となるので、
A'1=A1+cosφ・A2  A'2=sinφ・A2
A'1=A1  A'2=(-1/tanφ)A1+(1/sinφ)A2

ところで、座標変換を考えると、
x'1=x1+cosφ・x2  x'2=sinφ・x2
x'1=x1  x'2=(-1/tanφ)x1+(1/sinφ)x2
となるので、

A'μ=(∂xν/∂x'μ)Aν

A'μ=(∂x'μ/∂xν)Aν

と表わせます。これが反変ベクトル・共変ベクトルの一般的な定義ですね。

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この記事へのコメント

Ю7805
2019年12月21日 04:29
釈迦に説法かもしれませんが、A Student's Guide to Vectors and Tensors
というテキスト(http://www4.danfleisch.com/sgvt/)がとても参考になります。

これも面白いと思っていただけるかもしれません。
「2. 「成分」と「基底」の変換の相違点」
https://ir.lib.hiroshima-u.ac.jp/ja/00014959
T_NAKA
2019年12月22日 18:01
Ю7805さん、参考資料のご紹介ありがとうございます。
ただ14年も前の記事なので、現在関心がある分野とはズレがあり、直ぐに閲覧する時間が取れませんが、後で参考にさせていただきます。

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