T_NAKAの阿房ブログ

『場の古典論』（ランダウ＝リフシッツ）「§103. 塵状物質の球の重力崩壊」のP352あたりを読んでみます。 ...続きを見る

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前記事の最後で「この第３項が『無限時間』を造りますが、log関数なので、急峻ではないのです」と言いましたが、これを視覚的に分かるように図示してみました。Schwarzschild半径の２倍の位置から落下して、Schwarzschild半径外の高さまで到達する時間を見るのですが、前の１項と２項は有限になるので省いています。 ...続きを見る

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前記事では、BHに落下する粒子の固有時間で運動を考えたのですが、座標時でも考えようという企画です。 「事象の地平線近傍まで光はどの位の時間でたどり着くか？_(1) 」（ http://teenaka.at.webry.info/200805/article_22.html ）の結果から類推すれば、BHに落下する粒子も事象の地平線にたどり着くのは無限時間掛かるでしょうが、事象の地平線近傍までなら有限時間だろうということは想像されます。 ...続きを見る

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前記事の内容は、「BHに関するバカな考え」という記事（　http://teenaka.at.webry.info/200806/article_6.html　）での明男さんのコメント「（原理的に）観測できないものは物理的には存在していないことと同意義」というのと同じ意味ではないかと思います。 さて残っているのは「星の内部密度の高い部分によって計算されたSchwarzschild半径が成長して、周りの密度が希薄な部分を有限時間で取り込み、最終的には星全体がSchwarzschild半径以内に有限... ...続きを見る

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「重力崩壊でBHが形成される場合、座標時tでは、星の表面はSchwarzschild半径を通過する（『到達』と言った方がいいか）のに無限時間掛かり内部には入り込めない」よって「BHは形成されない」という論理がまかり通っていますが、何か変ですぞ。。 それを回避するために、「星の内部密度の高い部分によって計算されたSchwarzschild半径が成長して、周りの密度が希薄な部分を有限時間で取り込み、最終的には星全体がSchwarzschild半径以内に有限時間で落ち込む」という理屈を述べる方が多い... ...続きを見る

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Schwarzschild時空で中の粒子の運動を考えるにあたって、いろいろ考えてみようと思います。 以前に、「シュヴァルツシルト解のラグランジアン_(1) 」という記事を書いてました。 http://teenaka.at.webry.info/200711/article_20.html ...続きを見る

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karaokeさんのブログで「△ブラックホールは太れないの？」 http://blogs.yahoo.co.jp/karaokegurui/9060328.html というのがあるのですが、どうも数式化できないので良く分からないのです。 本来は方程式を解いて議論すべきですが、私の実力では無理なので、定性的に考えたらどんなもんか？という記事です。 karaokeさんの記事の中の質量膜というのを虚心坦懐に考えてみました。 前もって言っておきますが、ここで述べる内容はトンデモですよ。 ...続きを見る

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Schwarzschild計量がSchwarzschild半径で発散しないような座標を考えてみようという記事です。 『一般相対性理論入門』（須藤靖著_日本評論社）を参考にしました。 ...続きを見る

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どうも前記事は具体的な数値例を示していないので分かり辛いものでした。 やはり、『一般相対性理論入門』（須藤靖著_日本評論社）にある例を素直に考えた方が賢明と思い、やってみました。 ...続きを見る

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事象の地平線近傍ということで、r1をrsに近づけて考えてみます。 λ(＞1)というパラメータを考えて、r1=λrs ＜ r2　としたらどうでしょう？ ...続きを見る

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事象の地平線まで達するには無限の時間が掛かるのは周知のことと思います。 では、事象の地平線のごく近くまで達するにはどの位の時間が掛かるかを検討しましょう。 本来は自由落下する質点で考えるべきでしょうが、光の軌跡はds=0とすれば良いので、光で考えます。 『一般相対性理論入門』（須藤靖著_日本評論社）を参考にしました。 ...続きを見る

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ここでBHについて議論されています。 http://physics.bbs.thebbs.jp/1189596635/e100 さてこの中で、（意訳）「BHは外部から質量を取り込んでシュバッツシルト半径を成長させるということであるが、事象の地平線まで物質が到達するのに無限の時間がかかるので、質量を取り込めないではないか？」という疑問を提示している方が居られます。これについて考えてみましょう。 ...続きを見る

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例えば　http://teenaka.at.webry.info/200802/article_23.html　などでUnruh輻射について考えてきたのですが、ホーキング輻射にも触れないと中途半端だと感じていました。 本を買うのも高いし、これについてNetで詳しい文献が探せなかったので、どうしようかと思っていたところ、中村匡先生のブログ「極端大仏率 Returns!」で　http://mira.bio.fpu.ac.jp/tadas/cgi-bin/blxm/blosxom.cgi/08020... ...続きを見る

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どうも前記事の内容は自分でも上手く説明できていないと感じます。 もう少し素直な表現で仕切りなおしてみます。 エレベータの座標を(τ,ξ)、基準となる外宇宙の静止系座標を(t,z)としましょう。 ローレンツ（逆）変換で ...続きを見る

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前記事の最後の関係式は大変興味深いことを含んでいます。 エレベータ内で無限小時間dτだけ経過したときの(x,it)は、dτ経過する前のエレベータ内座標を、「無限小ローレンツ変換」で求めることが出来るということです。 ただし、原点を(-g/g2,0)に移動する必要がありますが。。 ...続きを見る

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「Introduction to General Relativity」の中の内容ですが、これを少し掘り下げましょう。 星などの重力の影響を受けていない外宇宙にエレベータがあって、ｚ方向に一様加速している状況を考えます。アインシュタインが等価原理で説明しているモデルですね。 内部の観測者は常に床に押し付けられているので、あたかも重力を受けているように感じます。 この状態を解析するのですが、まず記号・変数を明確しましょう。 ...続きを見る

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ちょっと先を進めます。この標識でローレンツ群を表現すると、次のような行列になります。 ...続きを見る

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最初の方にリンドラー時空が出てくるので、Gerard 't Hooft_Introduction to General Relativity( http://www.phys.uu.nl/~thooft/lectures/genrel.pdf ) というのをちょっと読んでみようかと思います。 この文献では、座標の添え字の付け方が少し違います。これにはなんのご利益があるのか？現時点では不明ですが、まずはその書式から、、 ...続きを見る

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前記事までで"Arnold Sommerfeld Center for Theoretical Physics"というところの文献を読んで来ました。 最後のページに"Discussion of results"というのがありまして、これを読んで、この文献を終わろうと思います。 ...続きを見る

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やっとUnruh温度を計算する段になりました。 ここでプランク因子が出てきて、計算編は最終段階となりますが、その後にまとめ記事を書いてみます。 ...続きを見る

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「a-演算子で定義される真空」と「b-演算子で定義される真空」は同じではないことを、ずっと述べてきました。 「a-真空」（a-演算子で定義される真空）という状態は「b-粒子」（粒子に見える）ということです。 ここでは、a-真空でのb-粒子の密度を計算することになります。 「粒子数」ということを考えるので、これについて中村匡先生の論文を引用してみますと、 http://mira.bio.fpu.ac.jp/tadas/export/unruh.pdf の最後の部分になります。 ...続きを見る

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一般Bogoliubov変換の見地から、もう一度演算子の関係を考えてみましょう。 まず、次の式です。 ...続きを見る

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ここでa演算子とb演算子の関係を求めることになりますが、Bogoliubov変換の一般化になるとのことです。 http://en.wikipedia.org/wiki/Bogoliubov_transformation ちょっと納得ですが、具体的には何も分かりませんので、先を進めることにします。 ...続きを見る

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ここでが「光円錐座標」を導入して、いままで求めた式を書き換えておくと非常に見通しが良くなるということの説明のようです。 ...続きを見る

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式の導出は私には無理なので、訳出に専念したいと思います。 ただし、数式はそれなりに易しくしてあります。。 ...続きを見る

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標題を変更しました。"Conformally coupled field"が分かりませんでしたが、karaokeさんのコメントからWikiで調べました。「共形場理論(Conformal Field Theory, CFT)とは、共形変換に対して作用が不変な場の理論である。歴史的には1980年代初頭にBelavin、Polyakov、Zamolodchikov(BPZ)らによって提唱された。特に、1+1次元系では複素平面をはじめとするリーマン面上での理論として記述される。」 karaokeさん、... ...続きを見る

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今回は固有座標から、「リンドラー座標」とその変形について考えます。 なお、今回でこのシリーズは終わりにして、この次からはこの結果を踏まえて、いよいよUnruh効果を調和振動子/生成消滅演算子で説明することになります。（同じ文献をテキストにしていますが、、） ...続きを見る

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文献の注に気になることが書いてあったので、この部分を訳してみます。 ここで、事象の地平線がUnruh効果に関連することが明確に記述されています。 この記事　http://teenaka.at.webry.info/200801/article_32.html　に書いた私の考えが、満更嘘ではないことになりますね。 ...続きを見る

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固有座標と基準座標の変換式が求まったので、この逆変換を求めて、全体を眺めてみましょう。 ...続きを見る

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前記事では、等加速度運動をする物体の基準ミンコフスキー空間での世界線を、この物体と同じ動きをしている観察者の固有時τをパラメータとして示しました。固有時というのは、この観察者の固有座標軸の一つ（時間軸）でしょう。そうすると、もう一つの固有座標軸（空間軸）を表わす方法が分かると、観察者の固有座標がきまることになります。 ...続きを見る

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どうも Unruh が火を付けてしまったらしく、また文献を見つけてしまいました。 http://www.theorie.physik.uni-muenchen.de/~serge/T6/SS03-T6-LN8.pdf ミュンヘンの"Arnold Sommerfeld Center for Theoretical Physics"というところの文献です。 有名なゾンマーフェルトの名を冠しているのですね〜。。 さて、いちいち訳すことはしませんが、ゆっくり読んでみましょう。 ...続きを見る

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いろいろとレーダー法などのモデルをでドップラー効果の公式を導出した方が良いと思いますが、式の変形を主にして求める方法を備忘録として書いておきます。あまり大した内容ではありませんので、あしからず。。 ...続きを見る

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前記事はただ訳出しただけなので、式の変形などが分かりにくいものでした。 これを少し丁寧に辿ってみます。また、どうも違和感があるので、そこについても意見を書いてみたいと思います。 （まあ違和感というのは私の理解力に起因するものが大なので、そこは大目に見て下さい。。） ...続きを見る

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一応、論文の訳出は終わりですが、この部分が一番面白いと感じました。 加速系でのドップラー・シフトからプランク因子が出てくることが分かります。 数式が出てきますが、これらの細かい導出などは別記事にしたいと思います。 ...続きを見る

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今回は「Unruh効果」の簡単な導出について考えるということになりますが、２つの導出方法の内、最初の方を訳してみます。 ...続きを見る

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前記事が「Unruh効果」と「Unruh輻射」の概要と、学問的位置付けについてでした。 今回は実験結果の予測について述べているようです。 読んでいてよく分からないところが多いし、誤訳も多いと思われるので、原文をあたっていただいた方が良いかも。。 ここは大筋ではあまり重要な部分ではないようですので。。 ...続きを見る

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「Unruh効果」を調べて見ると、易しそうな文献があったので少しづつ読んでみましょう。 （どうも日本語で読める文献が少ないので、英語は弱いのですが、、） http://www.unc.edu/~mgood/research/Unruh.pdf 気になるのは"thermalize"とはなんでしょうね？調べてみると : to change the effective speed of (a particle) to a thermal value ということで「(粒子の)有効速度を熱値に... ...続きを見る

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γ44=1　という条件を保持する（一般）座標変換、つまり　γ'44=1　という変換はどんな条件なのか？検討してみます。 ...続きを見る

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Kimballさんのブログで「惑星探査機の軌道速度が理論値よりも乖離する原理は『アンルー効果にあり』ですとぉう？？」 　http://blog.so-net.ne.jp/kimball/2008-01-30　というご紹介がありました。論文自体は　 http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0712/0712.3022v1.pdf　だそうです。内容は読んでないので、わかりません。 ここでは、「Unruh効果」について私の理解を書いてみます。これはあくまで素人考え... ...続きを見る

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前回の続きですが、「局所対称性」を５次元目だけに適用してみます。根拠としては具体的に５次元目は我々の認識に掛からないので、この方向に微小平行移動をしても物理量は何にも変わらないからです。 ...続きを見る

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最近、「物理学に生きて」（ちくま学芸文庫）のなかの　Ｏ．クライン　の講演を読んでいて、５次元理論がちょっとしたマイブームです。 （リサ・ランドール理論はサッパリですが、、） それで標題の理論について少し調べてみたのですが、敷居が高いですね。 私の探したネットの中ではTOSHIさんのブログが一番詳しい解説だと思いましたので、紹介したいと思います。 （内容はTOSHIさんのブログのストーリーそのままなので、正しい理解はそちらをご覧になった方が賢明です。どちらかという、それを読んだ私の備忘録な... ...続きを見る

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相対論で E=mc^2/√{1-(v/c)^2} というエネルギーの式がありますね。 これを光子に当てはめたいということで、m→0、v→cとすると、「0/0」という不定形になります。 ということは何らかの確定値になる可能性があるんですね。実際に量子論ではE=hνなので、物理的には確定なのでしょう。（νで変わってしまうので、本当の意味で確定はしてませんが。。） これが算数として求められるか？というお遊びです。 ...続きを見る

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シュヴァルツシルト解について考えてみようと思います。 思いつきなので、何も出てこないかも知れません。。 ...続きを見る

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広大な砂漠の中を走る直線道路の縁は２本の平行線なので、遠近法で見ると地平線で交わるはずですね。 （必ずしも交わる訳ではないのですが、、） これを図にすると、次のようになります。 ...続きを見る

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前回のつづきです。 一応、線素（計量テンソル）を求めることができました。ここで、ラグランジアンLを書く下すことができます。 ...続きを見る

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murakさんの出された課題は、はっしー帝國さんが解かれると思うので、別の問題にチャレンジしましょう。 問題は『一般相対性理論』（須藤靖著_日本評論社）の第３章の問題の中から[3.3]を選びました。 ...続きを見る

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前記事で考えたラグランジアンを、とりあえず「ミンコフスキー時空」に適用してみましょう。 ...続きを見る

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前記事「一般相対論のラグランジアン」　http://teenaka.at.webry.info/200711/article_7.html　の補足です。「一般相対性理論入門」（日本評論社_須藤靖著）の記述を参考にしました。こちらの方が幾分理論的にラグランジアンを説明しています。 ...続きを見る

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前記事の内容は平坦なユークリッド平面の「ピタゴラスの定理」とは形が随分異なります。 r　が大きくなると、「ピタゴラスの定理」に近似しないとオカシイわけで、これを調べてみましょう。 ...続きを見る

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「ピタゴラスの定理でわかる相対性理論」に書いてあった内容で面白いものを少し紹介します。 著作権の問題もありますので、全部をそのまま載せるつもりもありませんし、あくまで興味のあった部分を自分なりに書くだけです。そこのところ宜しく。。 ...続きを見る

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副題「―時空の謎を解く双曲幾何」という本を前から持っていて、一度さらっと読んだのですが、実は内容が良く分からなかったのです。 http://bookweb.kinokuniya.co.jp/htm/4774129038.html これを少し紹介してみたいと思います。 （著者のお一人、見城尚志さんはモータの解説本で有名な方ですね。） ...続きを見る

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「物理のおたふく」の方で、http://teenaka.at.webry.info/200710/article_31.html　で示した課題を取り組んでおられます。 課題の時空は２次元なので、独立な曲率テンソルの数を求めてみましょう。 ４次元の場合は独立な曲率テンソルの数は２０個なんですが、２次元の場合はR0000〜R1111の１６個がすべてゼロでなく独立なんてことはないので、それを調べます。 ...続きを見る

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ディラック「一般相対性理論」では、ラグランジアン密度が示してあってそれを計算すればいいのかも知れませんが、竹内先生の「宇宙のシナリオとアインシュタイン方程式」ではかなり感覚的な説明がなされています。 ちょっと考えてみましょう。 ...続きを見る

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やはり、速度の加法則を考えないと変ですね。 少し自信がないのですが、考察してみましょう。 ...続きを見る

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AXIONさんに振られたので「タキオン」を調べてみましょうか。。 日本版wikiの記事はあまりあてにならないのですが、定義だけは拝借させていただきます。 ...続きを見る

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この方法の簡単な応用を示します。 これが判り易いかどうかは判断が難しいのですが、まず図を見ていただきましょう。 ...続きを見る

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これは「相対論と高エネルギー物理」_W.G.V.Rosser(著)（共立出版）に書いてあった説明方法です。 （30年ほど前の本なので、今は絶版でしょうね。） 「非慣性系座標の考察_(3) 」という記事で使ったものなのですが、唐突だったので少し説明してみましょう。 ...続きを見る

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さて(課題VI)の座標が残っていますね。これもも考察してみます。 またまた等加速度運動のパラメータ表示から始めましょう。 ...続きを見る

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ちょっと順番が逆になりましたが、やはりリンドラー座標も考察してみます。 今回も等加速度運動のパラメータ表示から始めましょう。 ...続きを見る

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murakさんの課題に引っ掛けて、リンドラー座標でない座標系を考察してみましょう。 以前、等加速度運動のパラメータ表示を次のようにしました。 ...続きを見る

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例のBBSでmurakさんが課題を出されていますが、これは敷居の高いです。 まあこれが出来たとすると、今の議題のような論争はおきない訳で、あのスレ主には到底答えることができないでしょうね。 というか、私自身が直ぐにはできませんね。 まずは、紹介から、 ...続きを見る

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昨日、専門書を多く置いてある書店に行きました。 本当は「数学から見た連続体の力学と相対論」（岩波書店）を買おうと思っていたのですが、ついつい別の本を購入してしまいました。 その本は ...続きを見る

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うーん、あまりいいアイディアが浮かびませんね。。 とりあえず、分かったことだけ、書いていきましょう。 ...続きを見る

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所謂、アインシュタインのエレベータの話です。 例のBBSで、「一様加速するエレベータ内の時間の進みは床と天井で変わらない」と主張しているスレ主さんへの反論ですが、これをもってBBS ...続きを見る

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つづきをやってみようと思いますが、うまくいくかどうか？ кが実現可能な最高速度であることを使わないとだめなようですね。 本音を言うと、使わないで済ませたいのですが。。 ...続きを見る

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今日は、例のBBSのスレ主が「場の古典論」についてあまり変なことを言うので、反論の書きこみをやっていて、記事を書く時間がなくなってしまいました。 したがって、今日の記事は内容が薄いです。。 さて、EMANさんのところで、ローレンツ変換の導出過程で何故「線形変換」を前提にしているのか？という疑問が提示されました。 確かに、時空の斉一性から「線形変換」が選ばれるのは感覚的には肯けます。 しかし、変換式を「線形変換」に特定しない状態で、結果として、ローレンツ変換が出てこないか？ ということを... ...続きを見る

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「§82.相対論的力学における重力場」に進んでみます。 前の「§81.非相対論的力学における重力場」の考察を相対論に広げる訳ですが、ほぼ同じ性質が継承されますね。 ...続きを見る

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あのBBSでmurakさんからスレ主さんに次のような宿題が出ています。 「慣性系から一様に回転する基準系に乗り移ったとき（座標変換したとき）、その座標空間にはどのような計量が現れるのかを、一度自分の手で計算していただきたい（『場の古典論』の相当する章に書かれている）。」 多分、あのスレ主さんが宿題に着手するとは思えないので、こちらでその部分を読んでみましょう。 ...続きを見る

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今回は「４元運動量」の0次元目の意味について考察します。ημνpμpνというローレンツ不変量を考えることから始めます。 ...続きを見る

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もう少し、一般的なパラメータで考えてみましょう。まず、光を発射する点を　1/a0　とします。 これから、　光の世界線は　t=x-(1/a0) 、または　x=t+(1/a0) ということになります。 また　x=(1/a)cosh(aτ)、t=(1/a)sinh(aτ)　は　x2-t2=(1/a)2 なので、交点は次のようになります。 ...続きを見る

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はっしー帝國さんのブログ「物理のおたふく」で『非慣性系内の光線の軌道』 http://green.ap.teacup.com/hasea-teikoku/136.html というのがありまして、等加速中のエレベータの床から光を発射したらその軌道はどうなるかを色々考察されています。このお題を提示したのは私なんで、こちらでも考えてみました。x エレベータに限定しては詰らないので、もうすこし一般的な『非慣性系内の光線の軌道』を考えましょう。 これには、漸近線を共有する双曲線を出発点を等間隔... ...続きを見る

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前回は「速度そのもの」の４元ベクトル化を考えたのですが、その意味をもう少し明確化するために「４元運動量」を考えてみましょう。 ...続きを見る

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パラメータτの関数と考える方針で進めるとすると、xμ=xμ(τ)　となることが前回の結論ですが、これは「位置ベクトル」をパラメータτの４元ベクトルで示すということです。 今回は速度についてもこれと同じ考えをしてみましょう。 ...続きを見る

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というNHKの番組（爆笑問題のニッポンの教養_9/14,11:00〜11:30）がありまして、佐藤勝彦先生が出演されていました。 相対論的宇宙論ということになるのでしょうか。 30分番組で、しかも爆笑問題のツッコミがあるので、その内容は浅いものでした。 ...続きを見る

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これが「いまさら」とは言えないのですな。。というのは、どうもこの４元ベクトルというのは気持ち悪いので、敬遠していました。 また、この４元ベクトルを使った相対論的力学というのも苦手です。これは何故なんでしょうか？ どうも　dt/ds　或いは　dt/dτ　というのが感覚的にピタっと来ないのと、４元ベクトルを使わない形での相対論的力学を勉強してしまったためだと思います。今回は、少し復習です。『時空と重力』を紐解いてみましょう。 ...続きを見る

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「物理のおたふく」 http://green.ap.teacup.com/hasea-teikoku/128.html#readmore　にて対話形式で勉強会のようなものをやってますが、式の導出がお話レベルになっていたので、少し数学を整えてみました。 ...続きを見る

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えーと、例の掲示板はまだ終わってないんですが、murakさんの書き込みにインスパイア？されて相対論の問題_(2)についてもう少し書いてみたいと思います。 ...続きを見る

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さて、前方のロケットについて吟味するためには、出発位置と固有加速度を求めないといけません。 出発位置は後方ロケットから前方に20光分なのですが、ここは原点からの距離を求める必要があります。後方ロケットの出発位置を原点からの距離で表したものをL、前方ロケットのそれをＬ'とすると、題意により、 ...続きを見る

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さて、次に示すのがさる論争での問題です。 （出題者はmurakさん） この問題を解くために前問を私が用意しました。 ...続きを見る

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私の考える正答を説明しようと思います。 これはここで何度も話題に取り上げている等加速度運動なんですが、ロケットの固有時間と外部静止系での速度の関係を調べれば良いわけです。 さて、以前に次の式を提示しました。 ...続きを見る

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さる論争での問題ですが、ストレートに同じにせずに、少しづつ考えていくというつもりで書いています。もちろん、私の考える正答は用意しています。 ...続きを見る

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これもまた備忘録として書いておきます。 ...続きを見る

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未だに、例の論争が続いているので、説明用の備忘録として書いておきます。 ...続きを見る

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前記事の計算は、『相対論に必要な数学』（大場一郎著、物理数学OnePoint12、共立出版）を参考にしました。 ところで、『時空の力学』（細谷暁夫著、岩波講座_物理の世界、岩波書店）にも（導出過程は書いてありませんが）同じ内容の式が出ていました。実は、私の持っている版の『相対論に必要な数学』に載っている最終的な式は曲率の前の符号が間違っているようです。今回自分で計算してみて気づきました。そうでないと、『時空の力学』の式と一致しません。少なくても前回までの記事にて私の導出した式で良いと思います。... ...続きを見る

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以前「リンドラー時空」 http://teenaka.at.webry.info/200609/article_3.html という記事を書いたのですが、等加速度運動している場合の計量が例の論文「特殊相対論のおける２台の宇宙船のパラドックス」に載っていて、この導出方法を特殊相対論的に導出できないかと思ってました。 ちょっと思いついたので、書いてみます。 ...続きを見る

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ちょっと行き詰まっていて、コメント返しもちゃんと出来てませんね。ご容赦をば。。 また変な討論に引っ掛かってしまい、少し疲れてます。 「『一様加速』を再びまとめ」を書いたのはその所為です。 ...続きを見る

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また、必要のためにまとめます。 まず、「等加速度運動は面白い（６）」　http://teenaka.at.webry.info/200606/article_16.html で相対論的一様加速（等加速度）の方程式　α={1-(u/c)2}-3/2(du/dt)　が出てきます。 次に、「等加速度運動は面白い（１）」　http://teenaka.at.webry.info/200605/article_5.html　でこの場合の世界線（軌跡）は　x2-(ct)2=(c2/α)2（漸近線：x=±... ...続きを見る

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前記事では、測地線と測地線偏差が従う式を導きました。 次に「測地線偏差」を共変微分するとどうなるかを考えます。（これは最終的にΓを曲率でまとめる意図があるためです。） ...続きを見る

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前々から、結果の式は知っていたのですが、導出は判っていませんでした。 今回はこれを考えてみようとおもいます。「測地線偏差」というものを導入しましょう。 これはどういうことかと言うと、ごく接近して自由落下している２つの質点の世界線はそれぞれ測地線の方程式を満足しますが、この測地線同士の差を考えることになります。 ...続きを見る

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前記事は剛体の角運動量テンソルの式を提示したまででした。力学の法則より外力がなければ、これは時間によらず一定になるはずです。つまり、　 ...続きを見る

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物理のおたふく　http://green.ap.teacup.com/hasea-teikoku/　のコメントで書いた内容をもう少し掘り下げて説明してみたいとおもいます。 「等価原理」→「一般相対論」に至る間の試行錯誤で出たアイデアの一つです。 参考資料は岩波講座_物理の世界シリーズの『時空の力学_一般相対論の物理』(細谷暁夫)。 ...続きを見る

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ここで、テンソル算の練習としてコマの運動のオイラー方程式を解いています。 もう少し詳しくいうと「外力が働いていない場合、ひとつの固定点Oを中心とする剛体の回転運動に対するオイラーの方程式を導出」するとのことです。 ...続きを見る

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縮約のつづきです。対角和が不変量と分かると、上添え字と下添え字が同じ文字のあるΣはまとめてしまっても問題ないということになりますね。つまり、Σcii=C　としてしまって良いということです。 ...続きを見る

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今回は「縮約」について考えます。これは、上添え字と下添え字が同じ文字であればΣするというやつですね。 これが座標変換に対して不変量であるか？ということです。実際、Σcii　は一つの不変量です。 ...続きを見る

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最後に「対称テンソルの例」の力学の簡単な例として剛体の回転の際に登場する「慣性能率」について考えます。 今点Pに質量mの質点があるとしましょう。固定点OからPにいたるベクトルOPの成分をξiとします。 ここで、 ...続きを見る

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「反対称テンソルの例」の続きです。力学の例の三番目ですね。 固定点Oのまわりの剛体の回転速度になります。 O点のまわりの回転によって点PからP'に移ったとします。 ベクトルOPからOP'に移り、OP'はOPからの一次写像によって作られます。 （ベクトルOP'=ベクトルOP+ベクトルPP':なので　ベクトルPP'自身もOPからの一次写像で求められます） いまベクトルOPの成分をξi、ベクトルPP'の成分をδξiとします。 また、ベクトルOPからベクトルPP'への一次写像マトリックス成分... ...続きを見る

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「反対称テンソルの例」の続きです。今度は力学の例ですね。 一番目は一点Oのまわりの角運動量です。 ...続きを見る

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ここでは「反対称テンソルおよび対称テンソルの例」を考えます。 まずは、「反対称テンソルの例」から初めましょう。 最初は「ベクトル積」とか「外積」とか呼ばれているものですね。 ふたつの反変ベクトルの成分から、次のようなテンソルを作ることができます。 ...続きを見る

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やっと、新しいセクションに入ることが出来ました。いままでの経験から、これも９回位の連載となると思います。 さて、前回まではテンソルそのものの性質を見てきましたが、このセクションではテンソル同士の演算を考えます。 まず「和」から、、 ...続きを見る

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「テンソルの判別法」と「テンソルの定義」の関係について考えます。結論を言えば、いままでやってきた「テンソルの定義」と次の「テンソルの判別法」は同等であるとのことです。 座標系に依存する数個の変数列の一次形式は、その変数列のうち、座標系の基礎ベクトルの変換に反傾に変換される変数列を任意の反変ベクトルの成分でおきかえ、また共傾に変換される変数列を任意の共変ベクトルの成分でおきかえることによって、この一次形式が座標系の選び方に無関係な一定の値をもつようになるときは、この多変数列の一次形式は、実はひと... ...続きを見る

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えーと、またダラダラと続けますが、線形写像の話になります。 行列：マトリックスがテンソルであることが示されます。いまさらという気もしますが、、 ...続きを見る

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大分進み方ゆったりしてしまいました。まあ、急かされる事情がある訳でなし、マイペースで進めましょう。 と言ってもあまりまったりしてると自分で飽きてしまうので、こまりますね。（実は第�T章の半分も行ってない。。） ...続きを見る

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前記事は分かったような分からんような気分で終わりましたが、まあ大勢には影響しないと思うので、先を進めます。 本文では「われわれはアフィン的立場に固執する」ということなので、そのつもりで読まないといけません。 ...続きを見る

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さてテンソルの続きですが、「テンソル算が問題にすることは座標系の選び方に無関係な特性やテンソルの間を調べること」になるとのことです。 ...続きを見る

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「時間・空間・物質」（小野健一/三省堂新書）という古い本があるんです。（ワイルのは「空間・時間・物質」なので、順番が微妙に違うことにご注意）この中で掲題のエネルギーと運動量の関係を説明しているのが少し面白かったので紹介したいとおもいます。 まず、この本を貫く思想として「質量はエネルギー」という前提があるということを明確にしておきたいと思います。 よって、ｋを係数として、　E=km　ということになります。 また　「運動量の変化は力積」なので　�儕=fτ　ですが、　Lを距離とすると　L=vτ　... ...続きを見る

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これから高階テンソルに触れることになります。ここでは　Trilinearform　(三・一次形式)という例について述べましょう。 本に戻ると、 ...続きを見る

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前記事では反変成分について述べましたが、今回は「共変成分」に触れます。 （「反傾」ではなく「共傾」な関係を導入することになります。） 本に戻ると、 ...続きを見る

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先を続けます。本に戻ると、少し分かりにくい文章があります。引用しますと、 「ひとつの一次形式の変数ξiを、一次変換により移される新しい変数ξ'iを使って書きあらわすと、新しい係数は、この一次変換に反傾な変換をもとの係数にほどこした結果と一致する。これを、係数はξに反変な変換をこうむるともいう。」 これは例を上げてみないと分かりませんね。 ...続きを見る

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前記事を行列を使って考えてみました。ただし、テキストベースでやると、行列を書くのが面倒なので、数式は画像で貼り付けました。 どうも綺麗に見えないのが難点ですね。クリックして大写しにして見て下さい。 ...続きを見る

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前記事にmurakさんからのコメントをいただいて、このセクションが斜交座標系についての議論であるとイメージできました。 つまり、 斜交座標系で今後の一般相対論につながる概念（例えば計量テンソル）を勉強して行くということです。確かDirac本でも同じような話の進め方でしたね。 さて、本の記述ではいきなり（説明無しに）上添え字が出てきて面くらいます。後で反変成分・共変成分という説明が出てきますが、唐突です。やはりこの種の勉強をワイル本で初めて触れる人は大変かなと思いました。 それで、表記につい... ...続きを見る

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ずいぶんこのセクションに手間取ってしまいましたね。。これで、やっと最後まで着ました。 ここで、ワイルは「計量幾何学」を解析的に扱うのに二つの可能性があるとしています。 �@「直交座標系を使う方法」　�A「基礎に用いるアフィン座標系に何の制限を設けない方法」だそうです。 ...続きを見る

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さて、前記事で書いたように証明の本筋を考えます。 明らかなのは、　Q(e)=Q(e')=-1　Q(x)≦0　ということです。 ここで、　x=xe+x*　と分解します。ここでx*はeと直交する部分です。 さて、慣性定理：「s個の互いに直交するベクトルeが存在し、それらはすべてQ(e)＜0を満足する。 しかし0でないベクトルxがこれらのeのいずれとも直交するときは、必ずQ(x)＞0となる。」 から、　Q(x*)≧0　であることが分かります。 ...続きを見る

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「パッチギ」の沢尻エリカは可愛かったですね。 さて、前記事の内容をワイル本の記述に沿って考えてみます。 本では「Q(e',x)/Q(e,x)　と　-Q(e',e)　の符号が同じ」ことを証明すれば良いとしており、これが「eの代わりにe'を使っても結果は同じ」ということの言い換えのように述べられています。 ここがスンナリ入ってこないので、まずこれの考察です。 ...続きを見る

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前回に記事の負ベクトルxが2つの光円錐内に分類されるというところで、eとの二次形式（スカラー積と言い切って良いか、、）の符号で、どちらの円錐に分類されるかを判別しています。 このeは条件がQ(e)=-1ということなので、この条件さえ合致すれば別のベクトルe'でも同じ結果を与える、つまり、負ベクトルxはeでもe'でも同じ円錐に分類されることを証明する必要があると述べられています。 条件はQ(e)=-1しか使っていないので、当たり前のような気がします。 しかし、お付き合いなので、見ていこうと思... ...続きを見る

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前回の記事はTOSHIさんの「シルヴェスターの慣性律とローレンツ多様体」　http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2007/05/post_caf0.html と内容がかぶったようですね。 そう言えば、この本では前回紹介した定理を「慣性定理」と呼んでいます。 さて、その慣性定理を負の次元数sに対して書き直しておく必要がありますね。書いてみましょう。 ...続きを見る

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前記事の結果から、Q(ei)=εi、Q(ei,ek)=0　（i≠k）であり、 xi=εiQ(ei,x) であることが分かります。 ここで、Qが定符号でないときは次の定理があるとのこと。 ...続きを見る

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ここで、直交座標の場合を考えてみましょう。前にも言いましたが、 前記事まで「直交座標」には触れていません。 アフィン幾何学では、どちらかと言うと「直交斜交座標」のイメージでしょうか。。 ...続きを見る

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前記事では、「距離（計量）の公理」と「合同写像」を示して、ひとつのベクトルの二次形式が合同写像で変わらないという話題でした。ここでは２つのベクトルを合同写像で変換というか移動した場合、スカラー積（内積）はどうなるかを考えて、２つのベクトルの成す角度についても考えてみます。 ...続きを見る

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アフィン幾何学から計量幾何学（距離の定義が与えられた幾何学）に移行するための検討です。 ここは少しゆっくり行きましょうか。。 まずはスカラー積、つまり内積からです。あまり考えてなかったのですが、内積は前回で説明した「双一次形式」なのですね。 ...続きを見る

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[Dirac「一般相対性理論」を読む＿（８）] http://teenaka.at.webry.info/200601/article_18.html　にコメントをいただいたのですが、上手く説明出来なかったので、自分のために備忘録として書いておきます。 よって、題名のように仰々しいものではなく、非常に簡単な事柄ですので、そこのところ宜しく。。 さて、どういうことかと言うと、「同じ空間を異なった座標系で表すと違った様相を呈する」ということです。 説明を簡単にするために、平らな２次元平面を考え... ...続きを見る

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このセクションも、特にどうと言うことはないと思います。。 n次元幾何学というのは、３次元より多い次元を考えましょうということ。 ここで、押さえておきたいのは、「双一次形式」と「二次形式」です。これを書いてみます。 ...続きを見る

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「緒論」と「同等概念と空間概念」まで読んで、正直なところ、かなり退屈です。 多分ここを飛ばしても話は通じると思います。。 「アフィン幾何学の基礎」からは数式が出てきて、少し分かり易くなりました。 それで、内容は「線形ベクトル空間」で、「距離概念」「内積」の無い線形空間と思って下さい。 最後の方に書いてある「アフィン写像」が重要でしょうか？ すこし、触れてみます。 ...続きを見る

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掲題の本が文庫になっていると知っていたのですが、やっと本屋で手に取ることが出来ました。 で、やっぱり買ってしまいました。積読になるかも知れませんが。。 とりあえず、第�T章「ユークリッド空間：数学的定式化と物理学における役割」の目次を見てみると、 �@同等概念と空間概念　�Aアフィン幾何学の基礎　�Bn次元幾何学の概念、線形代数、二次形式 �C計量幾何学の基礎　�Dテンソル　�Eテンソル代数、例　 �Fテンソルの対称性　�Gテンソル解析、張力テンソル　�H定常電磁場 と、結構盛りだくさんです。ここだけで... ...続きを見る

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この話題は何回も取り上げましたが、分かり易い説明がありましたので、ここで紹介させて下さい。 地上からhの高さから自由落下しているエレベータの運動は地上の座標系を(t,x,y,z)で表わすと、 ...続きを見る

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「物理の世界」　http://www.geocities.jp/mtsugi04/index.html　というページを拝見していたら、連載＜相対論＞というところの、「特殊相対性理論２」　http://www.geocities.jp/mtsugi04/re3.PDF　の11頁に私の　「ローレンツ変換を導出してみる（１）」http://teenaka.at.webry.info/200508/article_15.html　から５回に分けて書いていると同じ内容のことがもっと洗練された形で掲載されて... ...続きを見る

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掲題は竹内薫先生の本ですが、「[パート2]§3　測地線は直線っぽい曲線のことなり？」の中の記述にどうも抜けている箇所があるような気がしています。 今回はこの部分を自分なりに考えてみました。（と言っても大したことではありません。。） ...続きを見る

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量子力学の勉強を少しお休みして、掲題の一般形の導出を備忘録として書いておきます。 一般形とは、ブースト方向を任意とした場合のローレンツ変換式です。 ...続きを見る

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やはり『次元の秘密』からの引用「カルーツァは、次のように考えた『５次元目は目に見えないのであるから、小さく縮まっているに違いない。おそらく円なのであろう』」なのですが、よく分かりませんね。。 もう少し引用してみましょう。 ----------------------------------------------------------------------------------- ええと、５次元目は、丸い小さな輪っかになっているのだ。 そう仮定するのである。 その５次元の円にも座... ...続きを見る

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カルーツァ=クライン理論というのがありますね。「時空4次元＋1次元」という5次元にすると、電磁場が出てくるというやつです。 分かっているのか？と聞かれると分かっていません。。（汗） この理論の概要が『次元の秘密』（竹内薫著＿工学社）に書いてあるんですが、そこに載っている練習問題をやってみようという記事です。 ...続きを見る

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後は「step_4」と「step_5」となる訳ですが、「step_5」は係数を比較するだけなので、本質は「step_4」ということになります。 ではやってみましょう。 ...続きを見る

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先の記事では「step_2」まで進めました。「step_3」から続けることにします。 ...続きを見る

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先の記事「曲率を計算する方法」でBHの曲率を計算してみましょう。 「アインシュタインとファインマンの理論を学ぶ本」に書いてある表示と合わせますので、今まで書いてきた計量が違いますが、あしからず。 ...続きを見る

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計量は採用した座標によって異なってしまい、それ自身は物理的実体ではなく、「曲率」こそ本質であることは前に書きました。 そこで、その曲率を計算する方法を勉強します。 これは「アインシュタインとファインマンの理論を学ぶ本」に書いてある内容ですが、微分形式を勉強したのは、これをやるためだったのですね。 この本によると、一般相対論や宇宙論を専攻している大学院の修士課程の１年生がやる計算だそうです。 物理学者なら誰でもできるというものではなくて、非常に高度な秘伝だとのこと。。 では、今回はその手... ...続きを見る

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エディントン・フィンケルシュタイン座標を使って、シュバァルトシルト特異点の意味を探ろうという話になります。（この座標系では特異点ではありませんが、、） ここで言い訳をすると、この座標での計量を使って時空図を描くのですが、私の実力では描くことが出来ません。よってこれは本「数理科学」の受け売りですので、そこのところ、よろしく。。 ...続きを見る

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昭和55年発行『相対性理論の再検討_アインシュタインの盲点』（レオン・ブリユアン著 ブルーバックス）という古い本があるんですがね。 内容が小難しいので、ずっ〜と積読状態でした。少し読んでみましょうか。。 ブリユアンの名は結晶体中の「ブリユアン帯」で有名ですね。まあトンデモではないのでしょうが、重力ポテンシャルを特殊相対論で考えて等価質量を議論しています。 これは正しい考察なんでしょうか？ちょっと疑問です。 ここでは、電場ポテンシャルについて議論しているところを見てみます。 ...続きを見る

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「一般相対論では座標系をどんな取り方をしてもかまわない」ので、計量は物理的実在を示しません。 一般座標変換の例で言うと、２次元平面をデカルト座標で考えると計量は ...続きを見る

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「数理科学」(2006.12月号)をパラパラめくっていると、「重力場入門」（前田恵一先生）という連載がありまして、BHに対するアインシュタインの考えが紹介されていました。 ちょっと面白いと思ったのでご紹介まで。。 ...続きを見る

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これで終わりですが、ここからは私の実力では上手く説明できないのです。 とりあえず、Kruskal 座標(U,V)から(p,q)への変換をミンコフスキー時空と同じようにします。 つまり、ミンコフスキー時空では ...続きを見る

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Kruskal 座標を導入し、к=1/(2a)　と選べば　r=a でも計量は特異性を示さないようになります。 しかし定義から、U＜0、V＞0　です。これを拡張すると、BHの内部まで表わせることになります。 ...続きを見る

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やはり、BHの話をしないと収まらないでしょうね。 実際は良く分からないのですが、出来るところまでやってみます。 ...続きを見る

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前回の記事では言葉のみでイメージが掴めないので、その図を描いてみました。 ご覧の通り野球のダイアモンド型になります。 ...続きを見る

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相対論で因果関係が一目で分かるコンパクトな図法ということで、「ペンローズ図」というのがあるそうです。 ちょっと見ただけでは何のことか分からないですが。。 ...続きを見る

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このシリーズも今回で終わりです。つまりアインシュタイン方程式までということですね。 ...続きを見る

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ここから所謂時空の曲がりの幾何学を考えましょう。 普通だと「ベクトルの平行移動」→「共変微分」→「リーマン曲率テンソル」というストーリーとなります。 ほぼ同じストーリーですが、少し近道をします。 ...続きを見る

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「測地線の方程式」が分かるとそれだけである程度の議論が出来ます。 いわゆる「ニュートン近似」も曲率テンソルやその前提となる共変微分の知識が無くても説明できます。 ...続きを見る

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気まぐれに、一般相対論シリーズです。テキストは『時空の力学』_細谷暁夫著。 気分転換にテキトーにやっているので、そのつもりで。。。 ...続きを見る

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前の記事はいい加減な内容だったので、いろいろコメントを頂いており、AXIONさんも取り上げて頂きました。 まあ、　http://homepage2.nifty.com/AXION/note/2006/note_200612.html　をご覧になればお分かりになると思いますが、少し私なりに考えてみました。 「アルファ・ケンタウリまでの中間（2.1光年）まで1gで加速して、その後1gで減速する航行プランで行く」として計算しました。 ...続きを見る

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Kimballさまのブログからいただきました。 http://blog.so-net.ne.jp/kimball/2006-12-04-2 ホーキング博士の「人類は別の惑星に移住を」という記事 http://cnn.co.jp/science/CNN200612010014.html の中に「人類が生存可能な惑星に到達するのに、従来のロケット技術では５万年もかかってしまう。『ＳＦ映画には、一瞬のうちに目的地へ移動できるワープという方法が登場する。だが残念ながら、光を超える速さで移動するこ... ...続きを見る

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今回の内容はあまりに初歩的なので恥ずかしいです。 特殊相対論おけるエネルギーの式の導出をよく忘れるので、備忘録として書いておきたいと思います。 ...続きを見る

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さて、今回は式が複雑というか、ごちゃごちゃしています。 なるべく丁寧にやろうと思います。 ...続きを見る

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次の式(13.12)は一見簡単なのですが、ちょっと苦労しました。 後から考えると大したことはないのです。 計算能力が低下して。。。 ...続きを見る

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少し、やっつけの訳文なので、出てきた式の吟味を遅ればせながらやってみたいと思います。 まず(13.10)式は問題ないと思いますね。 ...続きを見る

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今日は職場の飲み会だったので、頭が少しボンヤリしています。 ですから、エイヤっと訳しただけで、内容は吟味していません。 後�