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zoom RSS Dirac「一般相対性理論」の「6.平行移動」のおさらい(1)

<<   作成日時 : 2018/07/12 00:01   >>

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この部分が興味深かったので、他の人に説明出来るようにもう一度勉強したいと思います。
これは以前 『Dirac「一般相対性理論」を読む_(8)』 『Dirac「一般相対性理論」を読む_(9)』 に書いたものですが、良くこなれていないので書き直したいと思います。

にあるベクトル を点 に平行移動することを考えます。しかし、空間が曲がっているために、 はそのままじゃありません。
ここで、いきなり曲線座標で考えると、訳が分からなくなるので、平らな高次元空間に埋め込んで考えてみようというのがこの節の内容です。

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簡単なアナロジー例をあげますと、球の表面は極座標では動径(r)が一定と考えられるので、(θ、φ)の2つのパラメータで位置が指定できます。つまり球面は2次元です。地球も(緯度、経度)の2次元で表わされますね。
しかし、球自体は3次元の図形です。つまり、球面は平らな3次元空間に埋め込まれた2次元空間と捉えられます。
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具体的に言うと、曲がった空間での平行移動とは、「平らな高次元空間での平行移動の結果を該当の曲がった空間を表す曲線座標に引き直したもの」と考えることです。
ただし、ここで言う「平行移動」とは「曲がった空間での直線」に沿って移動することだと私は考えました。

ここで、平らな 次元空間を直線座標を とします。(直交軸を含んだ一般的斜交軸を考えます。)線素片の長さの2乗は

 

となります。 での計量テンソルですが、直線座標なので、 は定数です。
つまり、

 

とすることが出来ます。
くどいですが、

 
 
ということです(各係数 は定数であることを留意)。

物理空間は4次元の「曲面」ですから、曲面内の各点 (これは曲がった空間の曲線座標で表していることに注意)は 次元空間内で決まった座標 を持ちます。( から という表示に変わっていますが、これは曲面内の各点を 軸で計ったとき、 になるということだと思います。)

さて、 の4成分の関数なので、 と書くことにします。いま、 をパラメータ で微分します。(曲面の 軸で計ったときの座標と、曲がった空間の曲線座標で計ったときの座標の関係を求める訳です。)
約束により、

 

と書きます。したがって、曲面上で だけ離れている2点対して

 

であり、その間の距離の2乗は

 

となります。

ここで、 は定数ですから、

 

なので、 と書けることに注意すると、

 

であり、これを

 

と書く訳ですから、

 

ということになります。
これは面白い 結果ですね。平らなN次元空間で示される曲面の座標を、該当曲面の曲がった座標で微分したものの組み合わせで、曲がった空間 の計量が表わせるということです。

この具体例は後記事で考えたいと思います。

今日はこの辺で。。

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