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zoom RSS 主成分分析のおさらい(2)

<<   作成日時 : 2018/05/30 00:01   >>

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前記事の最後の方はちょっと端折ってしまいました。
ここでは例をあげてみます。参考書にある数値例でも良いのですが、ここはお馴染みのアヤメのデータを使いましょう。

「がく片長」と「花弁長」の関係を散布図を描いてみました。

画像


さらに、データから計算すると、

 

なので、{{3.083,1.265},{1.265,0.6811}} から固有値と固有関数は

 

となります。本当は固有関数は正規化して方向余弦になるようにしなければなりませんが、軸の方向を決めるだけなら
 
  軸:  の線

 

  軸:  の線

 

描けばよいというになりますね。これをやってみると

画像


となります。まあこれでも良いのですが、傾いているのは見づらいので、 を計算して散布図を描いた方よいでしょう。これには固有ベクトルを正規化して

 
  

と変換します。これを散布図にすると

 
画像


結果から見ると、z1 軸はアヤメの種類を際立させるものであり、z2 は大雑把にいうと「花弁長-がく片長」という指標で、アンバランス程度を示していることになります。
さらに、固有値の大きさが各軸のバラツキを説明しているか?という指標になるということなので、これを寄与率といい

 
 

ということになります。


ここまでは、図示して感覚的に分かるように2変数の例を計算してみましたが、本来 p 変数まで拡張できて

 

という固有方程式の固有値を求めて、大きい方から  とし、 に対する固有ベクトルを とすると、

 
 
 
 

として、 座標を求めることができます。また、

 

から、それぞれの寄与率は

 

となります。

今日はこの辺で。。

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