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zoom RSS フーリエ変換の畳み込み

<<   作成日時 : 2018/05/09 00:01   >>

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物理学で扱う音・光などの振動では波数よりの周波数スペクトルを問題にすることが多く、それら振動現象は無限に続くわけではないので、フーリエ級数よりフーリエ変換になるのが本質的でしょう。

具体的変数としては時間 と角周波数 が使われます。このとき、指数の符号を逆にして

 
 

とすることが多いようです。
波は複素数表示で

 

であり、位相とは指数の肩にある

 

ですね。正方向に進む波を表すと とは符号が逆なので、こういうフーリエ変換になるのだと想像しています。
さて、
  :  のフーリエ変換
  :  のフーリエ変換
とし、畳み込み

 
 
と定義し、そのフーリエ変換を求めることを考えます。

 
  
  
  
 
つまり、『 のフーリエ変換は である』ことがわかり、これを畳み込みの定理といいます。
逆に の畳み込みを

 

で定義すると、上と同様な展開で『 のフーリエ逆変換は である』ことになります。これを数式で書くと

 

なので、両辺を変形すると

 

となります。ここで とし と書き換えると

   

です。 が実数とすると、

 

となるため、

 

が成立します。この式で とすると、

 

となるので

 

となります。これが連続スペクトルの場合のパーセバル (Parseval) の等式です。
 

  : 光の波のような振動
 → 左辺:それが運ぶエネルギー量
 →  :  との間の光が運ぶエネルギー
 → 光の強さをエネルギーで表わすと、 の関数としての光の強さは に比例する
 → エネルギースペクトル あるいは 強さのスペクトル になっているという。

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