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zoom RSS フリードマンモデルにいたるまで(4)_アインシュタイン方程式

<<   作成日時 : 2018/02/13 00:01   >>

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ここで、いよいよアインシュタイン方程式に触れたいと思います。その前に、以前に求めたスカラー曲率とロバートソン=ウォーカー計量を再掲します。

 
  

また、リッチテンソル

 
 
 
  

も前記事で求めていました。ならば、次のアインシュタイン方程式は解けるのでしょうか?

 

左辺の値は求まっていますが、右辺の は決まっていません。本当はここをちゃんと導出しなければいけませんが、まずフリードマン方程式を求めることを優先して、天下り的に参照したいと思います。

 

ここで、 は圧力、 は密度、 はは観測者の4元速度ベクトル(共動座標系ならば )です。
共動座標系をとって、もう少し具体的に書くと、

 

つまり、

 

となります。よってアインシュタイン方程式は
 
 

になります。ここから4つの方程式がでてきますが、共通項を計算しておきましょう。

 
  

これは後で使うとして4つの方程式は

 
 
  
 

となります。第2〜4式のために次の計算をしておきます。

 
  
 
  
  
  
 

つまり、 なので、結局次の2つの方程式だけが独立なものと分かりました。

 
 

まず第1式を計算します。左辺は

 
  
  

となり、これと右辺により

 

という微分方程式になりました。これがフリードマン方程式です。


第2式の左辺は

 
  
  
となり、これと右辺により

 

ただ、この式はエネルギー・運動量保存則を仮定すればフリードマン方程式から求められるので、本質ではないようです。これについては後で検証しようと思います。

今回は、 とした単位を使用せずに、 を明示的したフリードマン方程式を求めてみました。手持ちの教科書・参考書を見たのですが、あまりそういう導出の詳細が書いてないのでいろいろと勉強してみました。

 

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