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zoom RSS 場の量子論のやり直し(37)_自由場(ハイゼンベルグ描像)

<<   作成日時 : 2017/11/06 00:01   >>

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pdf Quantum Field Theory の "2.6 The Heisenberg Picture"に入っていきます。ここは重要だと思うので、ゆっくり読んでいきたいと思います。

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2.6 ハイゼンベルグ描像

ローレンツ不変のラグランジアンで始まったが、我々は量子化しながらそれをゆっくりと解体し、好ましい時間座標 を導入した。量子化の後、理論がローレンツ不変であることはまだ全く明らかではない。例えば、演算子 は空間に依存するが時間的には依存しない。一方、1粒子状態の時間発展は、次のシュレディンガー方程式で示される。

  

ハイゼンベルグ描像では、時間依存性が演算子 に割り当てられている。

 

よって、

 

ここで下付き文字 は、オペレータがシュレーディンガーかハイゼンベルクのいずれの描像であるかを示す。場の理論ではこれらの添え字を削除し、場が空間 (シュレーディンガー描像)または時空 (ハイゼンベルグ描像)に依存するかどうかを指定することによって描像を示す。

2つの描像の演算子は、特定の時間、例えば で一致する。交換関係(2.2)は、次のハイゼンベルク描像で等時間の交換関係になる。

 
 

演算子 は時間に依存するので、時間発展の仕方を研究することができる。例えば、我々は次式を得る。

 
      

一方、 の運動方程式は、

 
   
       
   
   

ここで、微分がどの引数について作用しているのか混乱している可能性がある場合には、添え字 に含めた。最後の行に到達するために、単に項ごとに積分を実施した。(2.80)と(2.81)をまとめると、場の演算子 がクライン-ゴルドン方程式を満たすことが分かる。

 

物事は相対論的に見え始めている。 定義(2.77)を用いて のフーリエ展開を書くことができ、次のことに注意。

 

これは、 という交換関係から導出される。
また、これから次式が出てくる。

 

これは、指数が 4元ベクトル で書かれている点を除いて、以前の展開式(2.18)と非常によく似ている。(我々が採用しているミンコフスキー計量のために、符号が指数に反転したことにも注意して欲しい)。(2.84)がKlein-Gordon方程式(2.82)を満たすことを確認するのは容易である。
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