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zoom RSS ディド女王の問題 Queen Dido’s Problem _ 解決編

<<   作成日時 : 2017/05/24 00:01   >>

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今回、 The problem of Dido の SOLUTION を訳してみましょう。

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この問題に対する十分に確立された解法、すなわち変動の計算における等周問題が存在する。
  [等周問題]---------------------------------
   の制約に従って、 を最大にすること。
  この問題を解くには次のラグランジアン関数を定義する。 
   
  ここで はラグランジェ乗数と呼ばれる定数である。
  次に、この問題の解は以下のオイラー・ラグランジュの方程式を満たすことを示すことができる。
   
  -------------------------------------------
ディド女王の問題におけるラグランジアンは次の通りである。
 
にそれぞれ対応する2つのオイラー・ラグランジュ方程式がある。
 
 
偏微分を実行すると
 
  
であり、両辺を で積分すると、
 
なので、移項すると
 
となる。2つの式を2乗して足し合わせると
 
これは中心 で半径 の円の方程式である。
課された周囲長が なので と推論することができる。
したがって、問題の解は、半径 と面積 の円である。
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