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zoom RSS 連成振子の話(5)_エルミート行列と正規直交系

<<   作成日時 : 2017/05/17 00:01   >>

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ここまでの議論で分かったのは、エルミート行列の固有値問題を解くことが解を求めることになるということです。
そこで、ここではエルミート行列の性質とそれから出てくる正規直交系についておさらいします。

「N×N エルミート行列の固有値問題」 、つまり固有値と固有ベクトルの性質は
@ N 組の解、すなわち固有値
A それに属する固有ベクトル を持つ
B  において固有値 は全て実数で
C 異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する 
ということです。EMANさんの記事の「エルミート行列の固有値は実数である」「エルミート行列の異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する」をご覧になると簡潔な証明が提示されています。

ここで、固有ベクトルの長さ1にする(規格化する)とN次元空間の基底にすることが出来ます。クロネッカーのデルタを使うと
 
となりますが、基底ベクトル 正規直交系をつくるといいます。
つまり、任意の N 次元ベクトル は基底 の一次結合で形で展開できることになります。つまり、
 
と書けます。
この係数 は、正規直交系 に関するベクトル の成分になります。
  
つまり、 から、係数は固有ベクトルへの射影であるといえます。
また、ベクトルの長さの2乗(ノルム)は
 
   
となりまして、成分の2乗和がベクトルの長さの2乗となるという良く知られた結果になります。

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