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zoom RSS ちょっと微分方程式を解いてみる

<<   作成日時 : 2016/12/27 00:01   >>

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「Schwarzschild 時空で中の粒子の運動」の再掲(2)のグラフを眺めていると、これがニュートン力学で考えるとどうなるのか?を調べてみたくなりました。その前に微分方程式を解くのに悩んでしまいました。
そこら辺のことを書いてみます。

Schwarzschild 半径の2倍の位置から自由落下して、Schwarzschild 半径の近傍までの経過時間を時間を考える訳ですが、それには

  

という微分方程式を解く必要があるでしょう。簡略化すると

 

ですが、この場合

 

ということを考慮し、両辺に を掛けて

 

とすれば、積分して

 

であり、

 

となりました。つまり

  

ということです。
ここからは条件を確定していった方が解きやすいので、少しづつ考えていきましょう。
自由落下なので、 で加速度はゼロなので、 つまり

 

で、左辺の不定積分は

 

なので、高さ と落下するまでの時間を とすると、

 
 

ということです。

「Schwarzschild 時空で中の粒子の運動」の再掲(2)と同じスタンスで表現すると

 

なので、グラフを重ねてみました。

画像
 

オレンジ色の線が今回計算したものなんですが、あまり重なった部分がありません。
計算が合っているのか?ちょっと疑問が湧きました。。。

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微分方程式の初期条件を間違えてしまった。。
「ちょっと微分方程式を解いてみる」で納得のいかない結果になりました。 あもんさんのコメントで、画像掲示板にあもんさんのプログラムがあるのを教えていただき、それを見るとやはり私が勘違いしていることが明確になりました。 そこで記事の計算の見直しを行います。 ...続きを見る
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コメント(2件)

内 容 ニックネーム/日時
ニュートン理論と一般相対論の比較においては、一般相対論の方は粒子の初期位置に静止した時計が計る時間を用いるのが良いでしょう。あもんノート画像掲示板に式とグラフを掲載しておきますので、良かったら参考にしてください。
あもん
2016/12/28 03:43
あもんさん、コメントありがとうございます。画像掲示板を拝見させていただきました。
どうも私は積分定数の求め方を間違ったようですね。
もう一度考えてみます。。
T_NAKA
2016/12/29 02:51

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