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zoom RSS 「一般ローレンツ変換について」の再掲(2)_その2

<<   作成日時 : 2016/12/20 00:01   >>

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一般ローレンツ変換について(2)を書き直しの続きです。

前記事では ブースト方向を任意とした場合のローレンツ変換式 式を確認しましたが、話を少し進めることにします。

の原点は一致していると仮定しているので、 の瞬間には となります。
しかし、その瞬間、 系の 軸が 系に対してどの方向を向いているかを指示するには2個の数(パラメータ)を与える必要がありますね。
(例えば、球面座標系で考えれば、3次元空間での方向を決めるためには という2つの角度が必要ということ)

これが与えられると、 軸のみでなく、それに直交する 面も規定されます。

この 面上に 軸を引くことができます。
さらに 面上で、 軸に直交する 軸も必然的に規定されます。
右手系/左手系 という問題もあるんですが、ここではどちらかに決められているという前提です。)

結局3個の数を与えれば、 軸が決定されます。
この座標系が に対してどのような一定速度で走るかを規定するには、さらに速度の3成分を与えればよいことになります。

つまり、 個の数を与えれば、 系の軸の方向と運動が完全に決定されますね。
この6個の自由度が、 の自由度ということです。

という訳で、Lorentz 変換は無数に多くのものがあり、それは全体で 通りあることになります。
これらの Lorentz 変換全体は群をなしており、それは6個の連続自由度を持つ連続群です。


この群の単位元に相当するものは

 
 

とおいた変換、すなわち恒等変換

 

です。
また、群なので、逆元が存在するはずなので、考えてみると、

 

という条件から、

 

を逆に解くことができるはずです。 
その答えを

 

とすることにします。これも Lorentz 変換 で、 Lorentz 変換全体が群を成すことになります。
これを Lorentz 群 といいます。

これをさらに一般化した のタイプの変換全体もまた群を成し、これを 非斉次 Lorentz 群 あるいは Poincaré 群 と呼ぶようです。
これは Lorentz 群 と、座標系の原点を移動させる変換

 

とを一緒にしたものです。これは、4個のパラメータ に依存するから、Poincaré 群は合計10個のパラメータに依存することになります。

今日はこの辺で。。

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