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zoom RSS ガウスの逆問題

<<   作成日時 : 2016/11/06 00:01   >>

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統計的推測 : 2標本問題から掲題の内容を自分なりに要約して書いてみましょう。
最終的には「誤差分布について」の結論と同じで、正規分布の導出ということになります。

[ガウスの逆問題]-----------------------------------------------------------
 ある値 に関して という 個の観測値が得られているとする。ここで各 について

        

というモデルを仮定する。すなわち真の値 に誤差が加わった形で観測値が得られるとする。
誤差 は互いに独立で、ある分布に従う確率変数である。このとき、算術平均が「最も良い」として正当化されるのは、誤差分布はどのような場合であろうか?
---------------------------------------------------------------------------

感覚的には、測定値を平均すると誤差が相殺されて真の値に近づくだろうから、平均値を真の値の推定値とするのは、結構当たり前の方法として使っているんじゃないかと思います。
でも、その数学的根拠は?と問われると良く分かりませんね。ガウスはどんな誤差分布だったらこの「平均値を真の値の推定値とする」方法が正しいか?を考えたわけです。
考え方としては最尤推定法(maximum likelihood estimation) というのがあります。

誤差分布の密度関数を とします。また任意の に対して >0であり、1回連続微分可能とします。
いま、 の最尤推定量というのが前提です。
つまり、任意の と、任意の実測値 に対して

が成立することになります。 
 
から、 とおくと、上式は

と書けます。 
ここで、ちょっと極端なケースを考えます。どういうことかというと、 個のデータのうち、 個は同じ値 で1個だけが異なるという状況です。つまり なので、データの合計は です。
よって  から、 
 

さらに、 とすると  なので、 は となります。
最後の式を で割って、移項すると  となります。
ここで、 とすると、上式は 

となります。
ここで、 とすると、 となります。
これを見ると左辺は定数で、右辺の は任意なので、

となるでしょう。これを変形していきます。

つまり、
 
となって、正規分布になる根拠が出てきました。

う〜ん、、なんかピンとこないな。。

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