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zoom RSS 相対論的自由落下?のラグランジアン

<<   作成日時 : 2016/09/27 00:01   >>

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「エーレンフェストのパラドックス」のことを調べたくて、"Resolution of the Ehrenfest Paradox "という論文を読んでみようかと思いました。数式を眺めていると、Schwarzschild 計量に対し、新しい計量が示されていました。その根拠は"Remarks on the Equivalence of Inertial and Gravitational Masses and on the Accuracy of Einstein's Theory of Gravity."ということでした。これを読もうとしたのですが、簡単ではないので APPENDIX から読んでみたいと思います。
(こりゃ挫折しそうだ。。)

まず、"Resolution of the Ehrenfest Paradox "の第1式は
 
で、これはお馴染みの Schwarzschild 計量ですが、これに対し重力場での最小エネルギー原理で求めた新しい計量
 
が示されたとのことです。パラメータ ρ は
 
です。

この新しい計量の導出が "Remarks on the Equivalence of Inertial and Gravitational Masses and on the Accuracy of Einstein's Theory of Gravity." にあると思います。
その APPENDIX を見ていきましょう。

最初に相対論的自由落下粒子 (free falling relativistic particle) のラグランジアンというのが示されます。
 
プライム(')が付くのは粒子と一緒に動く随伴系 (co-moving coordinate reference frame) ということですが、これは重力による自由落下じゃなくて、自由粒子ということでしょうね。
計量から考えると
 
また計量の行列式
 
です。
ここで、(A2) を基準系座標との関係を求めるため
  
から
 
です。右辺をもう少し変形すると
 
  
となりますが、出来たら非対角項(上式の最後の項)が無くなった方が望ましいです。それには
  
が成立する必要があります。
この条件が成立すると
 
なんですが、計量の行列式 は変換後も変わらないので、
 
つまり、
 
  
ということになります。
さらに、(A6) 式の2乗から
 
つまり、
 
なので、これを (A7) に代入すると
  
なので
 
つまり、ヤコビアン の2乗は
 
なので、この変換のヤコビアンが1ということになります。

という訳で最後の結論ということになりますが、これがちょっとピンとこないのです。。
まず、原文を示します。

[原文]----------------------------------------------------------------
It is now possible to reverse the chain of reasoning and state the following theorem:
Every Lagrangian in the form:
     
with A(x,t) = - B(x,t) can be transformed into a free falling relativistic Lagrangian by a suitable coordinate
transformation with the Jacobian equal to unity.
----------------------------------------------------------------------

[拙訳]----------------------------------------------------------------
今、推論を逆にたどると、次の定理を述べることができます。:
A(x,t) = - B(x,t) という条件で、以下に示す形式のラグランジアンはヤコビアンが1の適当な座標変換によって相対論的な自由落下ラグランジアンに変換できる。
     
----------------------------------------------------------------------

少しロジックが飛んでいるような気がします。
現段階では上手く説明出来るような理解に達していません。
あとで付け加えることにしますので、一応この結果を受け入れて話を進めることにします。


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