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zoom RSS 久々に積分問題をやってみよう

<<   作成日時 : 2016/09/25 00:01   >>

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ちょっと話題が尽きたのでツィッターにあった積分問題を考えてみました。
まあ、WolframAlpha で答えは出てきてしまうかも知れませんが、一応自分で考えてみました。

問題:∫[1,t]√(x^2+1)/x dx を求めよ。(2011年東大)

ということなんですが、どうもテキスト・ベースだと分かり難いので、書き直すと、「定積分
 
を求めよ」ということなんでしょうね。

ルートの中の式の形を見ると、 という変換が良さそうと思い試算をしてみると上手く行きません。。
そこで思い切って
 
と置いてみましょう。こうすると
 
であり、
 
なので、
 
  

つまり、
 
  
となりました。
でもなんかすっきりしないなぁ〜。。ln の中の式では「分子<分母」なのでひっくり返して全体にマイナスを付けた方をよいし、もう少し考えた方が良いみたいです。
そこで
 
  

最終的に
 

一応 WolframAlpha で不定積分を求めると
 
なので、多分合っているでしょう。

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