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zoom RSS 統計の基礎_ (3)標本分布の代表値

<<   作成日時 : 2016/07/13 00:01   >>

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標本平均
 
 標本の大きさを n とし、標本平均を で表わすと
 
となる。
 必然的に次の (9) 式が成り立つ。
 

 (証明)
  
     

 母集団の平均 の推定値
 
としても良いだろう。

標本分散

 標本分散(s2 で表わす)は (6) 式に則り
 
 ここで問題となるのは母平均 を知りえないため、 を使用しなければならないことである。
 そこで、
 
と、おきかえて計算すれば
 
である。右辺の第3項は (9) 式からゼロとなる。
 第2項は
 
   
   
   
となる。
 ここで、n を大きくすると、上式の右辺の後半の項は正負の組合せでゼロに近づくはずである。その結果 (13)式は
  
となる。(正確には「近づく」と言ったほうが良いのだが、、)
 以上の結果 (12) 式は
 
であり、左辺を (10) 式で変形すると、
  
となり、最終的には
 
となる。

 (10) 式では n で平方和を割っているが、(15) 式では n-1 割っていることに注意。
 以下に直観的な説明をする。

  の n 個の変数間にはお互いを束縛する条件は何もないので、これらの平均値は合計を n で割って求められる。
 しかし、標本分散を計算するときには偏差を求めなければならず、このとき同じ標本から求められた平均値を使用しているので、ここで1つの情報を使ってしまっている。
 つまり n 個の偏差 には、その総和はゼロになるという制約条件があるため、n-1 個の偏差を与えられると、残りの1つの偏差は自動的に決まってしまう。
 したがって、自由に決まり得る偏差は n-1 個であるため、偏差の代表値ともいうべきバラツキの尺度を求めるとき n-1 で偏差平方和を割るのである。
 そして、このように除数が n から n-1 に減ることを自由度 (d.f. = degrees of freedom) が1つ落ちるという。

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