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zoom RSS 「直線斜交座標」を再掲

<<   作成日時 : 2016/03/10 00:01   >>

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「直線斜交座標」という記事を再掲してみたいと思います。

またまた、反変・共変にこだわります。「直線斜交座標」を使って考えましょう。
一番目の図では線分 \(\overline{Oa}\; ,\;\overline{Ob}\) を与えれば、\(P\) の位置が確定します。
(座標軸と平行に線分 \(\overline{Pa}\; ,\;\overline{Pb}\) を引きます)
同じ直線斜交座標を用いて二番目の図では、線分 \(\overline{OA}\; ,\;\overline{OB}\) を与えれば、\(P\) の位置が確定します。
(座標軸と垂直に線分 \(\overline{PA}\; ,\;\overline{PB}\) を引きます)

画像


画像


これらの関係を見るために、上の二つの図を重ねて描いてみましょう。

画像


関係を数式で表わすと、



となり、\(\alpha \neq 0\) ならば、逆に解けて




が得られます。
つまり、\((\overline{Oa}, \overline{Ob})\) という組で \(P\) を表わしても、\((\overline{OA}, \overline{OB})\) で表わしても等価です。
どちらが良いかという問題になりますが、実用上は両者は混ぜて使うのが良いことになります。
共変成分とか反変成分などが使われるのはこのためです。

\(\overline{OP}\) の長さを表わしてみましょう。
まず一番目の方法では、余弦定理から



なので、



二番目の方法は、図形から求めるのは面倒なので、\(\overline{OP}^{2}= \overline{Oa}^{2}+\overline{Ob}^{2}+2\overline{Oa}\cdot \overline{Ob}\cos \alpha\) に \(\overline{Oa}=\frac{\overline{OA}-\overline{OB}\cos \alpha }{\sin ^{2}\alpha }\; ,\; \overline{Ob}=\frac{\overline{OB}-\overline{OA}\cos \alpha }{\sin ^{2}\alpha }\) を適用させて


 
 

なので、

 

となります。
ところで、\(\overline{OA}= \overline{Oa}+\overline{Ob}\cos \alpha \; ,\; \overline{OB}= \overline{Ob}+\overline{Oa}\cos \alpha\) なので、



であり、



と、二つの方法を混ぜて使うと大変すっきりした形になったことが分かります。

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