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zoom RSS 「ga043_ナノ物質の不思議な世界」の第3週目に入りました。(2)

<<   作成日時 : 2015/10/27 00:01   >>

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今日、4週目に入ってしまうのですが、前記事の続きを書いておきたいと思います。

やはり、講義で示された式は \(\hbar\) が抜けているようです。それについてディスカッションに上げておいたのですが、応答がない状況です。もう一度私が計算した式を示します。



ここで、



です。ただし、具体的に \(\Psi(\boldsymbol{r},0)\) を示さないと、これは計算できません。
この講義では自由粒子ということで、 \(\Psi(\boldsymbol{r},0)\) として原点ではガウス型を考えているようです。

[引用]-----------------------------------------------
結果だけをお話しますと、初期波動関数が例えばガウス関数だったとしますと、形はガウス関数のままなのですが、時間の経過とともにその幅が広がっていきます。
波動方程式を既に勉強した人は、ポテンシャルエネルギーがゼロのシュレディンガー方程式は「拡散方程式」と同じ形をしていることに気付いたかもしれませんね。
-----------------------------------------------------

ガウス型というと、波束モデル_(1)で考えてますが、この記事で考えているのは「質量 \(m\) で1次元空間( \(x\) 座標)を一定速度 \(v_{0}\) で飛んでいる粒子」を想定しているのですが、この講義では速度ゼロで、時間発展で幅が広がっていく拡散過程として考えているようです。
そうすると、



と考えて計算すれば良いのでしょうか?これは別記事で考えてみたいと思います。
さて拡散方程式というのは



という形ですが、ポテンシャルエネルギーがゼロのシュレディンガー方程式は



と変形できるため、確かに同じ形になりますね。
拡散方程式の一般解はガウス型の初期値に対し次図のように「時間の経過とともに(山の高さは低くなっていくが)その幅が広がっていく」が分かっています。
画像

この場合、スリットに届くまでの波動関数のすそ野が時間とともに広がっていくのをマンガチックに描いてみました。
画像

ちょっと注意が必要なんですが、この図の輪っかは波紋の山を示しているのではなく、波動関数の領域(例えば3σ)が時間とともに広がって行くという意味です。

[引用]-----------------------------------------------
さて、初期波動関数は広がりながら二重スリットに到達します。
スリットの穴の部分ではポテンシャルエネルギーはゼロで、その回りの壁はポテンシャルエネルギーが非常に大きく事実上無限大と考えられますので波動関数は壁の部分に侵入できません。
よって、電子の波は二つに分岐してスリットの穴の部分のみを通過することになります。
-----------------------------------------------------
画像

この図での輪っかは波紋の山を示しているのでややこしいですね。
このような過程で一つの波動関数が2重スリットで干渉する二つの波動関数に分かれることになります。

この後で、スリットの片方を塞ぐという話になりますが、それは次回にしたいと思います。

今日はこの辺で。。

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