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zoom RSS 全2乗和と自由度(2)

<<   作成日時 : 2015/04/17 00:01   >>

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前記事では n = 2 と n = 3 の場合を確認しましたが、一般的に「 n 個のデータの全2乗和の自由度は n-1 」ということが言えるんだろうか?ということが気になります。この確認方法を工夫してみましょう。

まず、全2乗和 S を変形します。
 
ここで、総計 T を定義します。
 
したがって、
 
    
となります。
ここで、
 
  
  
となるため、
 
    
つまり、
 
から、
 
という2次形式の標準形で表わすことができます。
この行列 の固有値 を使うと、
 
として、
 
と対角化できることになります。
さて、固有値を求めるため、固有方程式を計算します。
 
この行列式 |AI| の2カラム〜nカラムを1カラム目に足し込むと次のようになります。
 
   
つまり、固有値の一つはゼロということになります。ここで便宜的に とすると、
 
なので、
 
であり、冒頭の「 n 個のデータの全2乗和の自由度は n-1 」が示されました。

今日はこの辺で。。

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