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zoom RSS Rindler 時空での Christoffel 記号(2)

<<   作成日時 : 2014/07/25 00:01   >>

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前記事の結果を書いておくと、ゼロでない Christoffel 記号は

 

のみで、ゼロでない Christoffel 記号の偏微分は、

 

のみです。ここから曲率テンソルを計算することを考えましょう。

 

から、

 

は明白です。加速は x 方向なので、yおよび z 方向は曲がってないので当たり前かもしれません。

[ μ=0 の場合]

 

なので、まず Γ001,1 を当てはめると

 
 

次に、 Γ010,1 を当てはめると

 
 


[ μ=1 の場合]

 

なので、Γ100,1 を当てはめると

 
 

これで(多分?)全部の曲率テンソルを計算してみて全てゼロだということが分かりました(よって、リッチテンソルもスカラー曲率もゼロとなります)。これは当初の目論見通りで Rindler 時空は基本的にミンコフスキー時空と同じで「曲がっていない」ことを意味します。当たり前ですが、 Christoffel 記号がゼロでなくても、それだけでは時空の曲がりは断定できなくて、曲率テンソルを計算してみないといけないということです。
また、くどいですが、リッチテンソルもスカラー曲率もゼロだからといって時空が曲がっていないかどうかは分からず、これも曲率テンソルを計算してみないといけません。

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コメント(3件)

内 容 ニックネーム/日時
確かに空間が平らであることを証明する1つの方法として、リーマンテンソルの全成分を計算する方法があります。しかし直線座標(計量が一定になる座標)への変換を見つけることによっても証明できます。リンドラー座標にせよN次元極座標にせよ、実際には直線座標からの変換により構成されているので、空間が平らであることは自明です。一方、ポンとある計量が与えられて、リーマンテンソルを全て計算して実はフラットであることが証明された、なんて例はほとんどないでしょう、ということを前回いったわけです。逆に、与えられた計量空間のリーマンテンソルの成分を1つ調べて、その空間がフラットでないことを知るということはよく行われます。これはどう工夫して頑張っても直線座標を張れないという否定的証明なので、非常に有効なわけです。例えば回転系における3次元空間部分がフラットでない証明がこれにあたります。
あもん
2014/07/25 04:25
あもんさん、コメントありがとうございます。
リンドラー時空はミンコフスキー空間を一様加速する観測者が見る時空なので、時空が曲がっていないのは計算するまでもなく自明のことですが、ここは虚心坦懐に曲率テンソルを計算したら確かにゼロになることを自分の練習問題としてやっています。簡単な計量で計算も簡単なので。。
T_NAKA
2014/07/25 07:43
おっしゃるとおり、演習は大事でしょうね。
あもん
2014/07/26 00:31

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