# T_NAKAの阿房ブログ

## ふくらんでゆく宇宙（２）

<<   作成日時 ： 2013/12/16 00:01   >>

 前記事が文字数制限に引っかかったので、まずは続きの計算を行いたいと思います。 　　$R_{\alpha\mathrm{}\beta}=\frac{\partial&space;\Gamma&space;{^{l}}_{\alpha&space;\beta}}{\partial&space;x^{l}}-\frac{\partial&space;\Gamma&space;{^{l}}_{\alpha&space;l}}{\partial&space;x^{\beta}}+\Gamma&space;{^{l}}_{\alpha&space;\beta}\Gamma&space;{^{m}}_{lm}-\Gamma&space;{^{m}}_{\alpha&space;l}\Gamma&space;{^{l}}_{\beta&space;m}$ 　　$=\left&space;(\frac{\partial&space;\Gamma&space;{^{0}}_{\alpha&space;\mathrm{}\beta}}{\partial&space;x^{0}}+\frac{\partial&space;\Gamma&space;{^{\gamma&space;}}_{\alpha&space;\beta}}{\partial&space;x^{\gamma}}\right&space;)+\left(\Gamma&space;{^{0}}_{\alpha&space;\beta}\Gamma&space;{^{m}}_{0m}+\Gamma&space;{^{\gamma&space;}}_{\alpha&space;\beta}\Gamma&space;{^{m}}_{\gamma&space;m}&space;\right&space;)-\left(\Gamma&space;{^{m}}_{\alpha&space;0}\Gamma&space;{^{0}}_{\beta&space;m}+\Gamma&space;{^{m}}_{\alpha&space;\gamma&space;}\Gamma&space;{^{\gamma&space;}}_{\beta&space;m}\right)$ 　　$=\frac{\partial&space;\Gamma&space;{^{0}}_{\alpha&space;\mathrm{}\beta}}{\partial&space;x^{0}}+\Gamma&space;{^{0}}_{\alpha&space;\beta}\Gamma&space;{^{m}}_{0m}-\left(\Gamma&space;{^{0}}_{\alpha&space;0}\Gamma&space;{^{0}}_{\beta&space;0}+\Gamma&space;{^{\gamma&space;}}_{\alpha&space;0}\Gamma&space;{^{0}}_{\beta&space;\gamma&space;}+\Gamma&space;{^{m}}_{\alpha&space;\gamma&space;}\Gamma&space;{^{\gamma&space;}}_{\beta&space;m}\right)$ 　　$=\frac{\partial&space;\Gamma&space;{^{0}}_{\alpha&space;\mathrm{}\beta}}{\partial&space;x^{0}}+\left&space;(\Gamma&space;{^{0}}_{\alpha&space;\beta}\Gamma&space;{^{0}}_{00}+\Gamma&space;{^{0}}_{\alpha&space;\beta}\Gamma&space;{^{\gamma&space;}}_{0\gamma&space;}&space;\right&space;)-\left(\Gamma&space;{^{\gamma&space;}}_{\alpha&space;0}\Gamma&space;{^{0}}_{\beta&space;\gamma&space;}+\Gamma&space;{^{0}}_{\alpha&space;\gamma&space;}\Gamma&space;{^{\gamma&space;}}_{\beta&space;0}\right)$ 　　$=\frac{\partial}{\partial&space;\eta}\left(\frac{\dot{a}}{a}\delta_{\alpha&space;\beta}\right)+\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^{2}\delta_{\alpha&space;\beta}&space;+3\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^{2}\delta_{\alpha&space;\beta}-\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^{2}\delta&space;{^{\gamma&space;}}_{\alpha&space;}\delta&space;_{\beta&space;\gamma&space;}-\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^{2}\delta_{\alpha&space;\gamma&space;}\delta{^{\gamma&space;}}_{\beta}$ 　　$=\frac{\ddot{a}a-\dot{a}^{2}}{a^{2}}\delta_{\alpha&space;\beta}+4\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^{2}\delta_{\alpha&space;\beta}-\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^{2}\delta&space;_{\alpha&space;\beta}-\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^{2}\delta_{\alpha&space;\beta}$ 　　$=\frac{\ddot{a}a+\dot{a}^{2}}{a^{2}}\delta_{\alpha&space;\beta}$ まとめると、 　　$R_{00}=\frac{3}{a^{2}}\left(\dot{a}^{2}-a\ddot{a}\right)&space;\;,\;R_{\alpha&space;0}=0\;,\;R_{\alpha\mathrm{}&space;\beta}=\frac{\ddot{a}a+\dot{a}^{2}}{a^{2}}\:&space;\delta_{\alpha&space;\beta}$ なので、 　　$R=g^{ik}R_{ik}=g^{00}R_{00}+g^{\alpha\mathrm{}&space;\alpha}R_{\alpha&space;\alpha}=\frac{3}{a^{4}}\left(\dot{a}^{2}-a\ddot{a}\right)-3\frac{\ddot{a}a+\dot{a}^{2}}{a^{4}}=-6\:\frac{\ddot{a}}{a^{3}}$ です。 （さて、これは個人的にはちょっと疑問な部分があるんですが、）この座標系では物質すなわち流体は“静止”しており、そのエネルギー運動量テンソル $T{^{k}}_{i}$ 成分は 　　　$T{^{k}}_{i}=\left(\varepsilon+P\right)u^{k}u_{i}-P\delta{^{k}}_{i}\;,\;&space;\;u^{0}=u_{0}=1,u^{k}=u_{k}=0$ から 　　　$T{^{0}}_{0}=\varepsilon\;,\;T{^{1}}_{1}=T{^{2}}_{2}=T{^{3}}_{3}=&space;-P$ で与えられる。 （ $\left(\eta,x,y,z\right)$ で示される物質の分布は確かに“静止”していますが、この後のアインシュタイン方程式には時空の計量が含まれていて、そこに違和感を感じます。。） ここで、重力場の方程式 　　$R{^{k}}_{i}-\frac{1}{2}\delta{^{k}}_{i}R=\kappa&space;T{^{k}}_{i}$ から、 　　$R{^{0}}_{0}-\frac{1}{2}R=\kappa&space;T{^{0}}_{0}\;\rightarrow\;\frac{3\left(\dot{a}^{2}-a\ddot{a}\right&space;)}{a^{4}}+\frac{3\ddot{a}}{a^{3}}=\frac{3\dot{a}^{2}}{a^{4}}=&space;\kappa&space;\varepsilon$ 　　$R{^{\beta}}_{\alpha}-\frac{1}{2}\delta{^{\beta}}_{\alpha}R=&space;\kappa&space;T{^{\beta}}_{\alpha}$ 　　$\rightarrow\;-\frac{\dot{a}^{2}+a\ddot{a}}{a^{4}}\delta{^{\beta}}_{\alpha}+\frac{3\ddot{a}}{a^{3}}\delta{^{\beta}}_{\alpha}=&space;-\frac{\dot{a}^{2}-2a\ddot{a}}{a^{4}}\delta{^{\beta}}_{\alpha}=&space;-\kappa&space;P\delta{^{\beta}}_{\alpha}$ となります。 まとめると、 　　$\frac{3\dot{a}^{2}}{a^{4}}&space;=\kappa&space;\varepsilon\;&space;,\;&space;\frac{\dot{a}^{2}-2a\ddot{a}}{a^{4}}=&space;\kappa&space;P$ です。 今日はこの辺で。。

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