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zoom RSS 惑星の運動(1)

<<   作成日時 : 2013/11/08 00:01   >>

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前記事の Lagrange の運動方程式の応用として「惑星の運動」を取り上げます。
ここは一般相対論の前フリでもありますが、まずは太陽系惑星の雑談的な話で、天体力学の初歩の初歩ということになります。

太陽系の惑星の軌道・・・太陽を一つの焦点とする楕円軌道(軌道面は地球の軌道面に対して殆ど傾いていない)
外惑星・・・地球の外側を回る惑星(例:火星、木星)
              ・・・地球から見て外惑星が太陽のちょうど反対側に位置するとき
              ・・・地球から見て外惑星が太陽の向きに位置するとき
内惑星・・・地球の内側を回る惑星(例:水星、金星)
              ・・・地球から太陽を見る方向と内惑星を見る方向が合致するとき
                   内合・・・このうち、惑星が太陽より内側に位置するとき
                   外合・・・このうち、惑星が太陽より外側に位置するとき
画像

金星を例にとると、
内合の後に太陽から天空上で西向きに離れ、最大離角 に達する。・・・この頃が明けの明星
この後、太陽に近づき、外合を経て、東方に最大離角 まで離れる。・・・この頃が宵の明星

地球と金星の軌道はかなり円に近いので、
  
と金星と地球の軌道半径の比は ということになります。実際、太陽からの平均距離の比の正確な値は ということです。

観測データから金星の公転周期を求めることを考えます。分かっていることは
  地球の公転周期・・・
  金星の内合から内合までの周期・・・
・・・地球から見かけの金星の角速度
 ・・・金星の実の角速度
 ・・・地球の実の角速度 
とすると
 
なので、データを代入すると、
 
で、
 
そうすると、
 
であり、これは
 
ということで、これは他の惑星でも同じことが分かっています。
つまり「太陽からの平均距離の3乗と、公転周期の2乗との比は、惑星によらず一定である」ということになります。
このことと「軌道が太陽を焦点の一つとする楕円である」「面積速度一定」と合わせて Kepler の法則といいます。

Isaac Newton(1643-1727) はこの Kepler の法則から万有引力の法則を導きました。
「どんな物体の間にも、それらの質量の積に比例し、その間の距離の2乗に反比例する引力が働く」ということで、太陽と惑星の間に当てはめれば

画像



となり、万有引力定数と呼ばれます。
   
から、

画像



で与えられます。太陽の質量が惑星の質量が惑星に比べて極めて大きいことを考慮して、この量を φ×(惑星の質量) と置いたとき、φはNewton ポテンシャルと呼ばれています。
φ(<0) は場所の関数で、単位質量当りの位置エネルギーにほかなりません。

今日はこの辺で。。



 

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