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zoom RSS 古典力学からの準備(2)

<<   作成日時 : 2013/11/07 00:01   >>

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Lagrange 関数と物理保存量の関係を調べてみます。

Lagrange 関数 を含まないとき、言い換えれば均質な空間を運動する場合に、Lagrange の運動方程式は
   
となり、均質な空間を運動する質点にとって保存される量は「運動量」ということになります。
次元を考えると
   
   
なので、辻褄が合い、
   
となります。(ただ、次元が同じだからと言ってイコールで結んでよいか?という疑問があります。比例するというのなら分かりますが、、)

次に、Lagrange 関数が を陽に含まず となる場合には、
   
ですが、Lagrange の運動方程式から、
   
なので、
   
ここで、
   
を使うと、
   
となります。時間的に一様な空間を運動する質点にとって、保存される量は質点のエネルギーということになります。よって、質点のエネルギー
   
で定義されます。

質量 を持つ質点の速度が光に比べて十分小さいうちは、 として運動エネルギー と位置エネルギー との差
   
を採用します。

もちろん、
   
ということになります。

これらの結果は直交座標に限らず、例えば極座標にも同じ論理が使えます。

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