T_NAKAの阿房ブログ

アクセスカウンタ

zoom RSS Bianchi の恒等式

<<   作成日時 : 2013/11/04 00:01   >>

ブログ気持玉 0 / トラックバック 0 / コメント 0

曲率テンソルの共変導テンソルの間に成り立つ次の関係式をBianchi(ビアンキ)の恒等式といいますが、この簡単な証明と式の変形を考えます。

Bianchi(ビアンキ)の恒等式

    

証明の前段階として、(A)式の第1項を考えましょう。

  
  
  

これを巡回的にやって、足し合わせれば良いのですが、テンソルなので測地座標系で証明した結果を一般的に適応することが出来ます。
測地座標系で上式を考えると、 なので、 

  

よって、

  
  

と証明されました。
式(A)に を掛けることを考えます。
(第1項)
  
(第2項)
  
(第3項)
  
よって、添字を揃えて足し合わせると
  
ですが、少し変形して、
  
が良く使う式となります。
さらに、計量テンソルは共変微分に対しては定数のように振舞うので を掛けて
  
となり、この形

  

も良く使われるようです。


テーマ

関連テーマ 一覧


月別リンク

ブログ気持玉

クリックして気持ちを伝えよう!
ログインしてクリックすれば、自分のブログへのリンクが付きます。
→ログインへ

トラックバック(0件)

タイトル (本文) ブログ名/日時

トラックバック用URL help


自分のブログにトラックバック記事作成(会員用) help

タイトル
本 文

コメント(0件)

内 容 ニックネーム/日時

コメントする help

ニックネーム
本 文
Bianchi の恒等式 T_NAKAの阿房ブログ/BIGLOBEウェブリブログ
文字サイズ:       閉じる