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zoom RSS テンソル(2)

<<   作成日時 : 2013/10/07 00:01   >>

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テンソルの続きを復習します。スカラーとベクトルというのもテンソルの一種と捉えらるということも確認しましょう。

・ 同じ点において二つの共変ベクトル との和をとることができて、結果 は共変ベクトル。

・ 同じ点における二つのベクトルの積については、たとえば は混合テンソル。

であるとき、第1第2指標について対称なテンソルという。

であるとき、反対称なテンソルという。

         
      から、

       なら 

       なら 

     というように、対称・反対称というのは座標変換では変わらずに保存される性質です。


単位テンソルという混合テンソルは

   

 と定義される。
      混合テンソルの性質から
      一方、単位テンソルは と書けるため、

      

      つまり、 で、この単位テンソルの形は座標変換では変わりません。


・ 前記事で例示した混合テンソルの座標変換式において、 を一致させて から まで加える。

   

 この場合、座標変換で形が変わらないので、スカラーと見做してよいだろう。

は二つのベクトルの内積(スカラー積)。

・ 上下指標を揃えて から まで加えることにより、2階低いテンソルが得られ、この操作を縮約(contraction) という。(この場合、スカラーは0階テンソル、ベクトルは1階テンソル、と呼びかえる)


・ Riemann 計量 において、反変テンソル と縮約してスカラー を作る は共変テンソルである。

・ 共変テンソル に対して、反変テンソル で定義する。


・ テンソルを行列として表したとき、 は互いに逆行列になっている。

・ 共変ベクトル と反変ベクトル とは同じ量の共変成分反変成分と解釈し、後者を同じ文字で と書くのが通例。

     

は計量テンソル の反変成分と呼ばれる。

 という関係式も成立。


ここで、「共変ベクトルと反変ベクトルとは同じ量の共変成分反変成分と解釈」というのは非常に重要なことです。共変ベクトルと反変ベクトルというのが何か別のベクトルと思って人が居るのですが、同じものをどうやって見たか?ということなんです。「このベクトルは共変ベクトルですか?」とか言う問題ではないのですね。

まあ、大部分が定義で終わってしまいましたが、今日はこの辺で。。
 

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