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zoom RSS テンソル(1)

<<   作成日時 : 2013/10/04 00:01   >>

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テンソルというのは分かったようで分かってない概念なので、ここでもう一度復習してみたいと思います。

Riemann 多様体の局所座標系はかなり自由に選ぶことができる。
例えば、 として直交座標 を採用することも可能だし、平面極座標 をとることもできる。

[平面上に温度 に分布している例]----------------------------------------
つまり、 ということ。
このとき、 を成分とする "ベクトル" で温度勾配として良いだろう。

直交座標:  → 通常の定義と一致。
極座標:  → このままでは使えない。 


温度勾配の絶対値の2乗は

    および  

が等しいからである。
------------------------------------------------------------------------

この例のように、単純に変数を変換してもいけないようである。
そこで一点の近傍において、任意の座標系でのベクトルの定義から始める。

一つの座標系 と他の座標系 との間の変換

   

を考える。
この座標変換で、"座標の微分" は次の変換を受ける。

   


個の成分 で表される量 が、座標の変換に際して上式と同じ変換

    

を受けるとき、この量を反変ベクトル(contravariant vector) という。


を或るスカラーとする。 は変換では次のような変換を受ける。

    


個の成分 で表される量 が、座標の変換に際して上式と同じ変換

       

を受けるとき、この量を共変ベクトル(convariant vector) という。


個の成分を持つ量 が二つの反変ベクトルの積と同じ

    

を受けるとき、この量を2階の反変テンソルという。同様に2階の共変テンソル

    

の変換を受け、混合テンソル

        

の変換を受ける。さらに高階のテンソルも同様に定義される。


テンソルには、例えば多重線型代数によるアプローチもあると思うのですが、そういうところに嵌ってしまうと、何が何だか分からなくなった経験があります。
一般相対論を勉強するなら、この記事の定義程度で押さえていた方が混乱しないんじゃないか?と今は思っています。

今日はこの辺で。。

 

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